AnalyseNotion · Glossaire
nombre hyperréel
Les nombres hyperréels forment un corps ordonné qui étend les réels et contient des infinitésimaux non nuls, plus petits en valeur absolue que tout réel strictement positif standard, ainsi que des nombres infiniment grands. Ils donnent un cadre rigoureux aux calculs avec l’infiniment petit ou grand, notamment en analyse, sans recourir à chaque étape au langage des limites.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier les nombres hyperréels aux réels, aux infinitésimaux et aux nombres infiniment grands.
- Calculer la dérivée de x² en 3 avec un accroissement infinitésimal.
- Distinguer un infinitésimal de zéro et d'une très petite valeur réelle.
- Reconnaître quand la partie standard peut être appliquée.
En clair
Imaginez que l'on zoome entre 0 et chaque nombre positif ordinaire, sans jamais atteindre 0. Un nombre hyperréel permet de désigner une quantité ε encore plus petite que 1, 1/10, 1/100 et même 1/n pour tout entier positif ordinaire n. Cette quantité n'est pourtant pas nulle : c'est un infinitésimal.
Son inverse 1/ε dépasse alors tout entier ordinaire : il est infiniment grand. Ces deux nombres vivent dans une extension des réels où l'on peut calculer avec eux selon les règles algébriques usuelles.
Définition
Un nombre hyperréel est un élément d'un corps ordonné non archimédien R* qui prolonge le corps des nombres réels R. Les réels ordinaires y sont donc inclus et gardent leurs opérations et leur ordre. Dans le cadre usuel de l'analyse non standard, R* satisfait aussi un principe de transfert : les propriétés du premier ordre valables dans R restent valables pour leurs prolongements dans R*.
La lettre grecque ε désigne ici un hyperréel positif. Il est infinitésimal lorsqu'il est plus petit que l'inverse de tout entier positif standard n :
Il est non nul, donc son inverse H = 1/ε existe et dépasse tout entier standard positif. Un tel H est dit infiniment grand. Un hyperréel est fini lorsque sa valeur absolue reste inférieure à un entier standard.
Dans les systèmes hyperréels usuels, tout hyperréel fini x est infiniment proche d'un unique réel, appelé sa partie standard et noté st(x). Ainsi, st(6 + ε) = 6. Cette opération ramène le résultat d'un calcul infinitésimal dans R. Le corps R* n'a pas une construction unique ; plusieurs modèles donnent néanmoins le même cadre pratique pour les raisonnements transférables.
Un exemple, pas à pas
On cherche la pente de la fonction qui associe x² à x au point x = 3.
Données : la fonction f vérifie f(x) = x² ; le point étudié vaut 3 ; ε est un hyperréel positif infinitésimal, donc ε ≠ 0.
Données : la fonction f vérifie f(x) = x² ; le point étudié vaut 3 ; ε est un hyperréel positif infinitésimal, donc ε ≠ 0.
1. On remplace l'accroissement ordinaire par ε et l'on forme le quotient des accroissements :
2. On développe le carré, puis on divise par ε, ce qui est permis puisque ε n'est pas nul :
3. Le résultat 6 + ε est fini et infiniment proche de 6. Sa partie standard donne donc la pente cherchée :
Le résultat est f′(3) = 6. Pour le contrôler sans hyperréels, la règle usuelle f′(x) = 2x donne bien f′(3) = 2 × 3 = 6.
En pratique
Pour calculer une dérivée, l'analyse non standard remplace un passage à la limite par un accroissement infinitésimal non nul. Après le calcul algébrique, on prend la partie standard du quotient fini. Une preuve classique par limite reste préférable si le cadre hyperréel n'a pas été introduit.
Pour une aire finie, on peut additionner un nombre hyperréel infiniment grand de rectangles de largeur infinitésimale, établir que la valeur de cette somme hyperfinie est finie, puis en prendre la partie standard. Les sommes ordinaires suivies d'une limite constituent l'alternative standard.
En physique, un déplacement ou un temps « infiniment petit » peut ainsi être traité comme une quantité non nulle dans un modèle mathématique précis. Si seules des mesures réelles avec une incertitude sont disponibles, les méthodes usuelles sur R restent le cadre adapté.
À ne pas confondre
Hyperréel et réel. Tout réel s'identifie à un hyperréel, mais R* contient aussi des éléments absents de R. Un ε positif plus petit que 1/n pour tout entier standard positif n est hyperréel et ne peut être un réel positif.
Infinitésimal et zéro. Un infinitésimal positif est non nul, même si sa partie standard vaut 0. Le test décisif est algébrique : on peut diviser par ε, alors qu'une division par 0 est impossible.
Hyperréel infiniment grand et symbole +∞. Un hyperréel H = 1/ε est un nombre du corps R* : on peut former H + 1 ou 1/H. Le symbole +∞ employé pour une limite n'est pas, dans R, un nombre auquel appliquer ces opérations.
Limites et pièges
Le modèle n'est pas unique. Plusieurs constructions de R* existent. Il faut donc fixer un système hyperréel avant de parler de ses éléments particuliers, même si les calculs usuels fondés sur le transfert conduisent aux mêmes résultats standards.
« Plus petit que tout positif » est trop fort. Un infinitésimal ε vérifie 0 < ε < 1/n pour chaque entier positif standard n. Il n'est pas plus petit que tout hyperréel positif : ε/2 est encore positif et lui est inférieur. Il faut toujours préciser le domaine du quantificateur.
La partie standard exige une valeur finie. L'expression st(6 + ε) vaut 6, mais st(1/ε) n'est pas définie comme un réel puisque 1/ε est infiniment grand. Avant d'appliquer st, il faut donc établir que l'hyperréel obtenu est fini.
Un infinitésimal n'est pas une petite mesure ordinaire. Une valeur réelle comme 10−100 reste supérieure à 1/n dès que l'entier standard n dépasse 10100. Pour modéliser une mesure, il faut conserver son incertitude réelle plutôt que la déclarer infinitésimale.
Pour aller plus loin
Analyse non standard — Situer les hyperréels dans la théorie qui formalise les infinitésimaux et les transferts depuis les réels.
L’histoire du calcul infinitésimal — Replacer l'usage des quantités infinitésimales dans l'évolution du calcul.
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