ArithmétiqueNotion · Glossaire
théorie de Nelson
La théorie de Nelson, ou IST (Internal Set Theory), est une axiomatisation formelle de l'analyse non standard qui enrichit l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel par un prédicat « standard », régi par les axiomes d'idéalisation, de standardisation et de transfert. Elle permet ainsi de traiter rigoureusement les infiniment petits et les infiniment grands dans le cadre des mathématiques classiques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier ce que le prédicat standard ajoute au langage de la théorie des ensembles.
- Nommer les trois axiomes propres à IST.
- Refaire le raisonnement qui montre que 1/H est un infiniment petit positif.
- Distinguer un entier illimité d'un entier standard seulement très grand.
En clair
Imaginez un entier H plus grand que chacun des entiers ordinaires que l'on peut fixer. Son inverse 1/H est positif, mais plus petit que 1/n pour tout entier ordinaire positif n. Il se comporte donc comme une quantité infiniment petite.
La théorie de Nelson rend ce raisonnement formel en ajoutant le mot mathématique « standard » au langage de la théorie des ensembles. Les axiomes d'idéalisation, de standardisation et de transfert règlent l'emploi de cette distinction.
Définition
La théorie de Nelson, ou Internal Set Theory (IST), est une axiomatisation formelle de l'analyse non standard publiée par Edward Nelson en 1977. Elle enrichit l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel avec un prédicat unaire, noté ici « standard ». Ce prédicat permet de distinguer les objets déclarés standard des objets qui ne le sont pas.
Trois axiomes nouveaux encadrent cette distinction : l'idéalisation, la standardisation et le transfert. Ils ne constituent pas trois définitions indépendantes du mot « standard » ; ils fixent ensemble les règles selon lesquelles ce prédicat intervient dans les raisonnements.
Dans ce cadre, un entier H peut être supérieur à tout entier standard. Le nombre 1/H est alors un infiniment petit positif au sens où, pour tout entier standard positif n, il vérifie . L'intérêt d'IST est de traiter ces objets dans une extension formelle du langage ensembliste classique.
Un exemple, pas à pas
On considère un entier positif H supérieur à tout entier standard. On pose ε = 1/H. Les données sont donc H, son caractère illimité par rapport aux entiers standard, et le nombre ε défini comme son inverse.
1. Prenons un entier standard positif n quelconque. Puisque H dépasse tout entier standard, H > n.
2. Les deux entiers étant positifs, le passage aux inverses renverse l'inégalité : .
3. Comme ε = 1/H, on obtient pour tout entier standard positif n. ε est donc un infiniment petit positif.
Le contrôle consiste à choisir n = 10, puis n = 1 000 : l'inégalité donne successivement ε < 1/10 et ε < 1/1 000. Ces essais ne prouvent pas le résultat général, mais ils concordent avec l'argument valable pour tout n standard positif.
En pratique
Pour raisonner avec une quantité extrêmement petite, IST autorise à la représenter directement par un infiniment petit comme ε = 1/H. Si seule une estimation numérique finie est recherchée, un petit nombre réel ordinaire reste l'outil adapté.
Pour étudier un comportement quand un entier croît sans borne, on peut manipuler un entier H supérieur à tout entier standard. Si le problème demande une limite dans le formalisme usuel, la définition classique des limites reste l'alternative naturelle.
Dans une démonstration, le geste décisif est de repérer quelles formules emploient le prédicat « standard ». Cette présence signale que les trois axiomes propres à IST, et pas seulement les axiomes ensemblistes habituels, encadrent le raisonnement.
À ne pas confondre
IST et analyse non standard. L'analyse non standard est le domaine mathématique qui emploie notamment des infiniment petits et des infiniment grands ; IST est l'axiomatisation particulière publiée par Nelson. Un texte qui invoque précisément idéalisation, standardisation et transfert se place dans le cadre d'IST.
Infiniment petit et zéro. Dans l'exemple, ε est strictement positif : . Il est inférieur à 1/n pour tout entier standard positif n, mais il n'est pas égal à zéro. Le test décisif est donc l'égalité à zéro, pas la seule petitesse.
Limites et pièges
Un grand entier fixé n'est pas illimité. Même 10100 est un entier standard dès lors qu'il est fixé dans l'exemple. Le symptôme de l'erreur est de baptiser « infini » une valeur seulement très grande ; il faut vérifier que H dépasse tout entier standard.
Quelques comparaisons ne suffisent pas. Vérifier ε < 1/10 et ε < 1/1 000 ne prouve pas que ε est infiniment petit. Il faut établir l'inégalité pour tout entier standard positif n, comme dans l'exemple guidé.
Le prédicat « standard » n'est pas un adjectif informel. Dans IST, il appartient au langage formel et obéit à trois axiomes nommés. Lorsqu'un raisonnement l'emploie, il faut identifier l'axiome qui autorise l'étape au lieu de s'appuyer sur l'intuition du mot courant.
Pour aller plus loin
L'article analyse non standard replace IST dans le domaine plus large où interviennent infiniment petits et infiniment grands.
L'article axiomatique de Zermelo-Fraenkel présente le socle ensembliste que la théorie de Nelson enrichit avec le prédicat « standard ».
L'article nombre infiniment petit approfondit l'objet illustré ici par l'inverse 1/H.
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