ArithmétiqueNotion · Glossaire
nombre infiniment grand
En mathématiques, l'expression « nombre infiniment grand » revêt plusieurs sens selon le cadre théorique considéré. Elle peut désigner, au sens courant, une quantité numériquement très élevée, comme le nombre de grains de sable d'une plage ou les distances astronomiques, pour lesquelles la dénomination et la notation scientifique peuvent poser des difficultés. Dans le cadre formel de l'analyse non standard, un nombre hyperréel x est dit infiniment grand lorsque son inverse 1/x est un nombre infiniment petit.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer une quantité immense mais finie d’un hyperréel infiniment grand.
- Appliquer le critère de l’inverse infiniment petit.
- Vérifier sur 10¹² pourquoi aucun grand nombre fini ne satisfait le critère formel.
En clair
Écrivez 1 000 000 000 000 grains sur un compteur : la quantité est immense, mais elle reste finie. On peut encore lui ajouter 1, la doubler ou la dépasser. La notation scientifique l’abrège en 1012.
L’analyse non standard donne un sens plus précis à « infiniment grand ». Elle élargit les nombres réels avec des nombres hyperréels. Certains dépassent tout entier ordinaire fixé à l’avance. Leur inverse est alors plus proche de zéro que l’inverse de n’importe quel entier positif ordinaire.
Définition
Dans le langage courant, un nombre infiniment grand est souvent un nombre fini jugé immense dans le contexte considéré. Ainsi, le nombre N égal à 1012 peut être difficile à nommer ou à écrire en toutes lettres, mais il demeure un nombre réel fini. Aucun seuil numérique fixe ne transforme un grand nombre ordinaire en nombre infini.
En analyse non standard, le terme reçoit une définition formelle. Un hyperréel H est infiniment grand en valeur absolue si sa valeur absolue dépasse chaque entier standard positif n : . Aucun nombre réel ordinaire ne satisfait cette condition. Le mot « standard » distingue ici les entiers usuels des nouveaux nombres du système hyperréel.
Cette condition équivaut au critère donné par l’inverse. Le nombre H étant non nul, son inverse 1/H est infiniment petit lorsque sa valeur absolue est inférieure à l’inverse de chaque entier standard positif : . Le cadre théorique est donc décisif : une quantité seulement immense et un hyperréel infiniment grand ne relèvent pas de la même affirmation.
Un exemple, pas à pas
Un compteur hypothétique affiche N, le nombre sans dimension de grains comptés. Les données sont :
N = 1 000 000 000 000 ;
N = 1012 ;
n = 1013, un entier standard ;
1/N = 10−12.
N = 1 000 000 000 000 ;
N = 1012 ;
n = 1013, un entier standard ;
1/N = 10−12.
1. On compare N à l’entier standard n. Comme 1012 < 1013, n dépasse N.
2. On calcule l’inverse de n : 1/n = 10−13.
3. On compare les inverses. Le nombre 10−12 est supérieur à 10−13 ; 1/N n’est donc pas inférieur à 1/n.
4. Le critère échoue pour cet entier n. N est très grand, mais il n’est pas infiniment grand au sens de l’analyse non standard.
Le contrôle est refaisable avec tout entier standard positif N : l’entier standard N + 1 le dépasse. À l’inverse, un hyperréel positif H infiniment grand dépasse chaque entier standard n, et 1/H est inférieur à chaque 1/n. La comparaison des deux échelles rend visible l’échec du test pour 1012.
En pratique
Pour communiquer une quantité immense mais finie, la notation scientifique remplace une longue suite de chiffres par une puissance de 10. On choisit cette écriture lorsque le nombre de zéros gêne la lecture ; 1 000 000 000 000 devient 1012.
Pour décider si un nombre ordinaire est seulement très grand, on cherche un entier qui le dépasse. Pour N = 1012, l’entier 1013 suffit, donc le mot « infini » ne convient pas au sens formel.
Dans un calcul en analyse non standard, on examine le cadre et la nature du nombre avant d’appliquer le critère de l’inverse. Si x est un hyperréel non nul et si 1/x est infiniment petit, x est infiniment grand en valeur absolue.
À ne pas confondre
Un très grand nombre fini. Il peut être dépassé par un autre entier. Le nombre 1012 paraît immense, mais 1013 lui est supérieur ; il n’est donc pas infiniment grand au sens non standard.
L’infini. Dans l’expression courante, « infiniment grand » peut seulement accentuer l’immensité. Dans l’analyse non standard, le mot qualifie au contraire un nombre hyperréel et se vérifie par un critère sur tous les entiers standard. Le cadre annoncé tranche entre les deux lectures.
Limites et pièges
Aucun seuil fini ne suffit. Le symptôme du piège est une affirmation comme « au-delà de 1012, tout nombre est infini ». L’entier 1013 dépasse ce seuil tout en restant fini. Il faut dire « très grand » tant que le contexte reste celui des nombres ordinaires.
Une écriture compacte ne change pas la nature du nombre. Passer de 1 000 000 000 000 à 1012 facilite la lecture, mais ne crée pas un hyperréel. Il faut distinguer le mode d’écriture du cadre numérique employé.
Le critère de l’inverse appartient au cadre hyperréel. Si un calcul ne précise pas l’analyse non standard, traiter un réel immense comme un infiniment grand produit une conclusion fausse. Il faut d’abord identifier x comme hyperréel non nul, puis vérifier que 1/x est infiniment petit.
Pour aller plus loin
nombre infiniment petit — Approfondir le critère réciproque qui caractérise un hyperréel infiniment grand.
infini — Situer l’idée générale d’infini par rapport au sens formel étudié ici.
Sommes sans fin — Observer un autre contexte où le vocabulaire de l’infini demande un cadre précis.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres