analyse non standard

Sur une droite graduée ordinaire, deux nombres réels distincts gardent toujours un écart réel, aussi petit soit-il. L’analyse non standard agrandit cette droite. Elle y place des nombres positifs plus petits que 1, 1/10, 1/100, et même que 1 divisé par tout entier positif ordinaire. Ces nombres ne valent pourtant pas zéro : ce sont des infinitésimaux.

Dans le même cadre, l’inverse d’un infinitésimal positif est plus grand que tout entier ordinaire. On peut alors effectuer des calculs algébriques avec ces nouveaux nombres, puis revenir au réel ordinaire qui en donne la valeur observable.

L’analyse non standard étudie l’analyse dans une extension des nombres réels, souvent appelée ensemble des nombres hyperréels. Cette extension contient les réels ordinaires, mais aussi des éléments infinitésimaux et des éléments infiniment grands. Un nombre hyperréel positif noté $\epsilon \backslash varepsilon$ est infinitésimal lorsqu’il est inférieur à $1\mathrm{/}n1/n$ pour tout entier positif ordinaire désigné par $nn$, sans être nécessairement nul. Son inverse est alors infiniment grand si l’infinitésimal n’est pas nul.

Le mécanisme logique central est le transfert. Les énoncés du premier ordre vrais pour les réels, formulés avec les opérations, l’ordre et des quantifications sur les nombres, restent vrais dans l’extension. Les règles algébriques ordinaires s’appliquent donc aux hyperréels. Cette garantie ne porte pas automatiquement sur une affirmation qui quantifie sur toutes les parties des réels.

Deux hyperréels sont infiniment proches lorsque leur différence est infinitésimale. Tout hyperréel fini est infiniment proche d’un unique réel ordinaire, appelé sa partie standard. Cette opération permet de convertir un résultat comme $6+\epsilon 6+\backslash varepsilon$ en la valeur réelle 6. L’extension ne remplace donc pas les réels : elle ajoute un cadre où les variations infinitésimales sont de véritables nombres, puis relie les résultats finis au monde réel par la partie standard.

On cherche la pente de la fonction qui associe à un nombre son carré, au point d’abscisse 3. Les données sont :
• la fonction $f(x)=x^{2}f(x)=x^2$ ;
• le point réel $x=3x=3$ ;
• un infinitésimal positif non nul noté $\epsilon \backslash varepsilon$ ;
• le quotient des accroissements de la fonction et de son entrée.

1. On calcule l’accroissement exact de la fonction :

2. On divise par l’accroissement non nul de l’entrée :

3. Le nombre $6+\epsilon 6+\backslash varepsilon$ est infiniment proche de 6. Sa partie standard vaut donc 6 : c’est la pente réelle recherchée.

Le résultat se contrôle avec des accroissements réels. Pour 0,001, le quotient vaut exactement 6,001 ; pour −0,001, il vaut exactement 5,999. Les deux encadrent 6 et s’en rapprochent lorsque la valeur absolue de l’accroissement diminue.

Pour calculer une dérivée, on peut remplacer le passage explicite à la limite par un accroissement infinitésimal non nul, effectuer l’algèbre, puis prendre la partie standard. Cette voie est utile lorsque le quotient se simplifie directement, comme pour le carré. La définition classique par limite reste préférable si aucun cadre hyperréel n’a été posé.

Pour examiner un comportement à très grande échelle, on peut évaluer une expression sur un nombre hyperréel infiniment grand. Le geste devient pertinent si la propriété étudiée est formulable dans le domaine couvert par le transfert. Sinon, il faut revenir à une preuve classique avec ses quantificateurs explicites.

En logique mathématique, la droite réelle non standard fournit un exemple d’extension qui partage les énoncés du premier ordre des réels. Elle convient pour étudier ce que ce langage peut préserver. Une propriété portant sur toutes les parties des réels exige un cadre logique plus riche et ne se déduit pas du seul transfert.

Analyse classique. Elle travaille avec les réels ordinaires et formule la dérivée par une limite. L’analyse non standard emploie une extension des réels et la partie standard d’un quotient infinitésimal. Pour le carré en 3, les deux démarches donnent 6, mais leurs objets intermédiaires diffèrent.

Le symbole ∞. Dans une limite classique, ∞ indique un comportement et n’est pas un nombre réel auquel on applique librement l’algèbre. Dans la droite non standard, l’inverse d’un infinitésimal positif non nul est au contraire un nombre hyperréel déterminé et infiniment grand.

Nombre transfini. Un nombre transfini sert à décrire la taille ou l’ordre d’ensembles infinis. Un hyperréel infiniment grand appartient, lui, à une extension ordonnée des réels conçue pour le calcul. Leur grandeur intuitive ne suffit donc pas à les identifier.

Un infinitésimal non nul ne vaut pas zéro. Dans l’exemple, $6+\epsilon 6+\backslash varepsilon$ n’est pas égal à 6 dans les hyperréels. Le symptôme du piège est un signe égal posé avant le retour aux réels. Il faut d’abord simplifier avec $\epsilon \mathrm{\ne }0\backslash varepsilon\backslash ne0$, puis prendre la partie standard.

Le transfert a un domaine logique précis. Il préserve les énoncés du premier ordre, pas automatiquement toute phrase parlant de collections de nombres. Si une preuve invoque « toutes les parties des réels », le seul transfert ne la justifie pas. Il faut reformuler l’énoncé dans le langage autorisé ou utiliser un autre argument.

La partie standard exige un résultat fini. Le nombre $1\mathrm{/}\epsilon 1/\backslash varepsilon$ est infiniment grand lorsque $\epsilon \backslash varepsilon$ est un infinitésimal positif non nul ; aucun réel ordinaire n’en est infiniment proche. Il ne faut donc pas lui appliquer la partie standard comme au quotient fini $6+\epsilon 6+\backslash varepsilon$.

Le glossaire analyse réelle replace limites, continuité et dérivation dans le cadre classique auquel l’approche non standard se compare.

La fiche infini aide à distinguer un comportement sans borne, le symbole ∞ et les nombres infiniment grands du cadre non standard.

L’entrée Nombre transfini montre une autre manière de mathématiser l’infini, fondée sur la taille et l’ordre plutôt que sur l’extension des réels.