nombre appréciable

Imaginez une règle graduée où apparaissent aussi des nombres hyperréels. Un nombre appréciable reste d'une taille ordinaire : il n'est pas une quantité minuscule qui échappe à toute graduation positive, ni une quantité si grande qu'elle dépasse tout réel fini. Par exemple, 3 est appréciable. Même 3 + ε l'est lorsque ε est un infinitésimal positif : cette petite variation ne change pas le fait que le nombre reste entre deux bornes réelles positives.

Dans un corps hyperréel, on appelle nombre appréciable un hyperréel qui n'est ni infiniment petit ni infiniment grand. Pour un hyperréel x, cela signifie qu'il existe deux réels standards m et M tels que m > 0 et M soit fini, avec $m\le \mid x\mid \le Mm\backslash leq\backslash left\backslash lvert\; x\backslash right\backslash rvert\backslash leq\; M$. Les bornes peuvent dépendre de x ; il n'est pas nécessaire qu'elles soient universelles.

La valeur absolue de x mesure sa distance à zéro, sans tenir compte de son signe. L'inégalité inférieure exclut zéro et les infinitésimaux, car leur valeur absolue est plus petite que tout réel standard strictement positif. L'inégalité supérieure exclut les infiniment grands, dont la valeur absolue dépasse tout réel fini. Un nombre appréciable peut donc être positif ou négatif ; seul son ordre de grandeur par rapport aux bornes standards compte.

Considérons un infinitésimal positif ε, c'est-à-dire un hyperréel tel que 0 < ε < r pour tout réel standard r strictement positif. On étudie le nombre hyperréel x = 3 + ε.

D'abord, comme ε > 0, on obtient .

Ensuite, en prenant le réel standard 1 comme comparaison, ε < 1, donc .

Ainsi, : la valeur absolue de x est bornée par deux réels standards positifs et finis. Le nombre 3 + ε est donc appréciable. Le contrôle consiste à vérifier qu'il reste dans cet intervalle, même si ε est non nul et plus petit que tout réel standard positif.

Pour classer un hyperréel x, on examine d'abord sa valeur absolue. On cherche une borne réelle standard strictement positive en dessous et une borne réelle finie au-dessus. Si ces deux bornes existent, x est appréciable.

Dans un calcul où apparaît un infinitésimal, il est utile de conserver sa présence au lieu de l'arrondir immédiatement à zéro. Le nombre 3 + ε reste alors distingué de 3, tout en appartenant à la même catégorie des nombres appréciables.

Lorsque les bornes ne sont pas établies, la classification doit rester indéterminée. Une estimation dans le cadre hyperréel ou une preuve des inégalités est préférable à une décision fondée sur l'apparence du nombre.

Un nombre appréciable ne se confond pas avec un réel standard. Le réel 3 est appréciable, mais 3 + ε peut être un hyperréel non standard tout en restant appréciable. Le critère qui tranche est l'existence de bornes réelles standards, pas l'appartenance aux seuls réels standards.

Il ne se confond pas non plus avec un nombre infiniment petit. Pour un infinitésimal positif ε, ε est inférieur à toute borne réelle standard strictement positive ; pour un nombre appréciable comme 3 + ε, une borne inférieure positive telle que 1 existe.

Le cas de zéro est un piège important. Il est borné supérieurement par un réel fini, mais aucune borne réelle standard strictement positive ne peut satisfaire $m\le \mid 0\mid m\backslash leq\backslash left\backslash lvert\; 0\backslash right\backslash rvert$. Zéro n'est donc pas appréciable selon cette définition ; il relève de la catégorie des infinitésimaux puisque sa valeur absolue est inférieure à tout réel standard strictement positif.

Une valeur absolue finie ne suffit pas à conclure. Un infinitésimal est lui aussi borné supérieurement, mais il échoue à la borne inférieure positive. Il faut vérifier les deux côtés simultanément, avec des réels standards et une borne supérieure finie.

Le mot « fini » doit être compris dans le cadre hyperréel : il signifie qu'une borne réelle standard finie existe. Une quantité infiniment grande ne devient pas appréciable parce qu'elle possède une écriture ou une valeur numérique dans un calcul ; elle reste exclue dès que sa valeur absolue dépasse tout réel fini.

La notion s'inscrit dans l'analyse non standard : elle fournit une catégorie intermédiaire entre les infinitésimaux et les infiniment grands. Pour approfondir, on peut étudier comment les nombres hyperréels étendent les réels et comment la valeur absolue permet d'y comparer des ordres de grandeur.