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corps archimédien
Un corps ordonné (K, <) est dit archimédien s'il vérifie la propriété suivante : pour tous éléments a et b de K tels que 0 < a < b, il existe un entier naturel n tel que b < n·a. Cette condition traduit l'absence d'éléments infiniment grands ou infiniment petits au sens de la relation d'ordre : pour tout élément positif, des multiples entiers successifs finissent par dépasser n'importe quelle borne fixée. Le corps des réels ℝ est un corps archimédien ; à l'inverse, certaines extensions non standard des réels contiennent des éléments non archimédiens.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Formuler le critère archimédien avec un pas positif, une borne et un entier naturel.
- Vérifier exactement le franchissement de 100 par des multiples de 3/7.
- Relier l'échec du critère aux infinitésimaux et aux éléments infiniment grands.
- Distinguer propriété archimédienne, complétude et valeur absolue non archimédienne.
En clair
Imaginez une règle graduée que l'on prolonge sans fin. Choisissez un pas positif, même très petit, puis répétez-le : un nombre entier de pas finit toujours par dépasser toute marque fixée.
Un corps ordonné est archimédien lorsque ce principe reste vrai pour tous ses nombres positifs. Il ne contient donc aucun nombre positif si minuscule que ses multiples entiers restent éternellement sous 1, ni aucun nombre positif qui dépasse tous les entiers. Les nombres réels possèdent cette propriété.
Définition
Un corps ordonné est un corps K muni d'un ordre total compatible avec l'addition et la multiplication par un nombre positif. Il est archimédien lorsque, pour tout élément positif x de K et tout élément y de K, il existe un entier naturel n dont le multiple de x dépasse y.
Le critère s'écrit :
Ici, n est vu dans K comme la somme de n copies de l'unité. Une forme équivalente affirme que tout élément de K est inférieur à un entier naturel.
La propriété exclut à la fois un élément positif supérieur à tous les entiers et un infinitésimal positif ε tel que nε reste inférieur ou égal à 1 pour tout entier naturel n. Les corps ℚ et ℝ sont archimédiens. Certaines extensions ordonnées non standard de ℝ ne le sont pas, car elles contiennent de tels éléments.
De quoi c'est fait
La structure repose sur quatre données liées. Le corps K fournit l'addition, la multiplication, l'inverse additif de chaque élément, l'inverse multiplicatif de chaque élément non nul, ainsi que les éléments 0 et 1. L'ordre total permet de comparer deux éléments. Sa compatibilité avec les opérations garantit qu'ajouter un même élément conserve l'ordre et que le produit de deux éléments positifs est positif.
L'unité 1 engendre dans K une copie ordonnée des entiers naturels : l'entier n y représente 1 ajouté n fois. Les multiples entiers nx dépendent donc à la fois des opérations du corps et de cette copie des entiers. Leur comparaison à une borne y dépend de l'ordre.
Ces données suffisent à poser le test archimédien : chaque pas positif x doit franchir chaque borne y après un nombre entier de répétitions. La façon d'écrire ou de représenter les éléments ne définit pas la propriété.
Un exemple, pas à pas
Données. On travaille dans le corps ordonné ℚ. Le pas positif x vaut 3/7 et la borne y vaut 100. On cherche un entier naturel n tel que nx soit strictement supérieur à y.
1. L'inégalité n × 3/7 > 100 devient n > 700/3, soit n > 233 + 1/3.
2. Le premier entier naturel qui convient est donc n = 234.
3. Le calcul donne 234 × 3/7 = 702/7, et 702/7 > 700/7 = 100. La borne est bien franchie.
4. Contrôle. Avec 233 pas, on obtient 233 × 3/7 = 699/7 < 700/7 = 100. Le passage de 233 à 234 confirme que 234 est le plus petit entier adapté à ces données. Ce calcul vérifie un couple précis ; la propriété archimédienne de ℚ porte sur tous les couples possibles.
En pratique
Dans une démonstration sur ℚ ou ℝ, la propriété archimédienne sert à remplacer une grandeur positive arbitraire par un rang entier. Si une quantité doit dépasser une borne, on cherche un entier n assez grand puis on contrôle l'inégalité obtenue.
Pour montrer qu'un corps ordonné n'est pas archimédien, on suit le geste inverse : on exhibe un élément positif ε dont tous les multiples entiers nε restent sous 1. Son inverse est alors supérieur à tous les entiers.
Face à une structure dite « non archimédienne », il faut d'abord repérer ce qui est étudié. Si le texte compare des éléments par un ordre, ce critère s'applique ; s'il utilise une valeur absolue ultramétrique, il s'agit d'un autre emploi du terme.
À ne pas confondre
Corps archimédien et corps complet. La propriété archimédienne concerne le dépassement des bornes par des multiples entiers ; la complétude concerne la convergence de certaines suites. ℚ est archimédien mais n'est pas complet, tandis que ℝ possède les deux propriétés.
Corps ordonné non archimédien et corps local non archimédien. Dans le premier cas, « non archimédien » décrit l'échec d'un critère d'ordre. Dans le second, l'expression qualifie généralement une valeur absolue ultramétrique. La présence d'un ordre ou d'une valeur absolue indique le sens employé.
Infinitésimal et simple petit nombre. Dans ℝ, un réel positif comme 10−100 est très petit, mais un multiple entier finit par dépasser 1. Un infinitésimal positif d'un corps non archimédien reste inférieur ou égal à 1 après toute multiplication par un entier naturel.
Limites et pièges
Le multiplicateur doit être entier. Dans le critère usuel, n appartient aux entiers naturels intégrés dans K. Autoriser un élément arbitraire c de K ne traduit pas des répétitions successives et ne caractérise pas la propriété archimédienne. Il faut revenir à l'inégalité nx > y avec x positif.
Un nombre fini de contrôles ne suffit pas. Constater que 234 × 3/7 dépasse 100 vérifie seulement ce pas et cette borne. La définition exige le même résultat pour chaque x positif et chaque y du corps ; une preuve générale doit donc porter sur des éléments arbitraires.
« Très petit » ne signifie pas « infinitésimal ». Un élément positif n'est infinitésimal que si nε ≤ 1 pour tout entier naturel n. Dès qu'un seul multiple dépasse 1, le symptôme non archimédien disparaît pour cet élément.
L'ordre est indispensable. La définition ne s'applique pas à un corps dépourvu d'ordre compatible avec ses opérations. Employer seulement une distance ou une valeur absolue demande un autre critère, même si le vocabulaire « archimédien » apparaît aussi dans ce cadre.
Pour aller plus loin
L'analyse non standard prolonge la réflexion en travaillant avec des extensions ordonnées de ℝ où apparaissent des infinitésimaux et des éléments infiniment grands. Elle montre ce qui change lorsque la propriété archimédienne n'est plus imposée.
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