axiome d'Eudoxe-Archimède

Imaginons un segment long de 0,7 m que l’on reporte bout à bout pour dépasser une longueur de 5 m. Sept copies atteignent seulement 4,9 m, mais huit copies atteignent 5,6 m : le dépassement finit bien par arriver.

L’axiome d’Eudoxe-Archimède généralise cette idée. Une quantité positive, aussi petite soit-elle, n’est jamais trop petite pour dépasser une autre quantité positive lorsqu’on l’additionne à elle-même assez de fois.

L’axiome d’Eudoxe-Archimède porte sur deux grandeurs positives comparables. On note A la grandeur répétée, B la grandeur à dépasser et n le nombre entier de répétitions. La propriété affirme qu’un entier naturel n peut toujours être choisi de sorte que n fois A soit strictement supérieur à B.

Dans un corps ordonné, cette affirmation est la propriété archimédienne. En prenant l’unité pour A, elle signifie aussi que les entiers naturels ne sont pas majorés dans ce corps. Elle exclut un infinitésimal positif ε qui vérifierait nε ≤ 1 pour tout entier naturel n. La condition A < B de la formulation source décrit le cas intéressant où plusieurs copies peuvent être nécessaires ; si A ≥ B, un dépassement strict reste obtenu après un nombre fini de répétitions.

Soient A et B deux grandeurs strictement positives d’un cadre ordonné où la somme de copies de A est définie. Si A < B, alors il existe un entier naturel n tel que :

L’entier n n’est pas fixé à l’avance : il dépend du rapport entre B et A. L’énoncé garantit son existence, et non une valeur unique.

Les deux grandeurs doivent être strictement positives, comparables par un ordre et exprimées dans un même cadre. Il faut aussi pouvoir additionner A à elle-même un nombre entier de fois sans quitter ce cadre. Dans les nombres réels, ces conditions sont satisfaites.

Le contre-cas A = 0 bloque immédiatement le mécanisme : quel que soit n, on a n × 0 = 0, donc aucune grandeur B > 0 n’est dépassée. Dans une structure ordonnée non archimédienne, il peut également exister des A et B positifs tels que nA ≤ B pour tout entier n ; il faut alors renoncer à cette conclusion plutôt que chercher davantage de répétitions.

On prend la grandeur répétée A = 0,7 m et la grandeur à dépasser B = 5 m. On cherche le plus petit entier naturel n pour lequel n × A > B.

1. Sept répétitions donnent 7 × 0,7 m = 4,9 m. Cette longueur reste inférieure à 5 m.

2. Une répétition supplémentaire donne 8 × 0,7 m = 5,6 m. Cette fois, 5,6 m > 5 m : l’entier n = 8 convient.

3. Les reports successifs de 0,7 m placent donc la borne de 5 m entre le septième et le huitième multiple. Le premier dépassement a lieu au huitième report.

Le contrôle est refaisable par division : 5 ÷ 0,7 ≈ 7,14. Il faut donc prendre l’entier suivant, 8, et l’inégalité stricte est bien vérifiée.

Pour dimensionner un nombre de répétitions, on compare B à A. Si le quotient B/A n’est pas entier, le premier entier supérieur au quotient fournit le plus petit n qui dépasse B.

Si B/A est un entier, l’inégalité demandée est stricte : il faut ajouter une répétition. Avec A = 0,7 m et B = 4,9 m, sept copies égalent B et huit sont nécessaires pour le dépasser.

Dans une démonstration sur les nombres réels, la propriété sert aussi à choisir un entier au-delà d’une borne donnée. Lorsqu’un raisonnement exige précisément ce choix, invoquer la propriété archimédienne évite de supposer sans justification que les entiers finissent par dépasser toute valeur réelle.

La propriété archimédienne ne se confond pas avec la complétude. Les nombres rationnels sont archimédiens, puisque leurs entiers dépassent toute borne rationnelle, mais ils ne contiennent pas la limite de toute suite de Cauchy rationnelle. Le test porte donc sur les multiples entiers, pas sur l’existence de toutes les limites.

Elle ne dit pas non plus que le mot « infinitésimal » est interdit dans tous les cadres mathématiques. Elle affirme que les corps ordonnés archimédiens ne possèdent pas d’infinitésimal positif non nul ; d’autres structures, dites non archimédiennes, sont justement étudiées parce que cette propriété y échoue.

Le cas A = 0 est exclu : toutes ses répétitions valent 0. Si A < 0, les multiples deviennent de plus en plus négatifs lorsque n augmente ; l’argument de dépassement ne s’applique donc pas. Il faut vérifier A > 0 avant tout calcul.

Le signe > est un piège au seuil exact. Si B/A = 7, choisir n = 7 produit seulement nA = B. Pour obtenir nA > B, il faut n = 8. Plus généralement, le plus petit entier convenable est la partie entière de B/A augmentée de 1.

L’axiome garantit au moins un entier, mais pas son unicité : dès qu’un entier n convient, tous les entiers plus grands conviennent aussi. Dans l’exemple A = 0,7 m et B = 5 m, 8 est le plus petit choix, tandis que 9, 10 et tous les suivants dépassent également 5 m.

Eudoxe de Cnide situe le mathématicien auquel la théorie antique des grandeurs et cette formulation sont attribuées.

Archimède replace l’autre nom attaché à la propriété dans l’histoire des mathématiques grecques.