groupe archimédien

Sur une droite graduée, partez de 0 et avancez toujours du même pas positif. Avec un pas de 3, vous atteignez 3, puis 6, 9 et 12 : vous finissez donc par dépasser 10.

Un groupe ordonné est archimédien lorsque ce phénomène vaut pour n'importe quel petit pas positif et n'importe quelle cible positive. Aucun élément ne reste à une distance inaccessible par additions répétées d'un autre élément positif.

Un groupe archimédien est un groupe commutatif G, écrit avec l'addition, muni d'un ordre total compatible avec cette addition. La compatibilité signifie qu'ajouter le même élément aux deux membres d'une inégalité en conserve le sens.

Soient a et b deux éléments de G tels que a soit strictement positif et inférieur ou égal à b. Le groupe est archimédien s'il existe un entier naturel n pour lequel :
Ici, n·a est la somme de n termes tous égaux à a. La propriété affirme donc que les multiples entiers d'un élément positif finissent par dépasser tout élément donné.

Tout sous-groupe du groupe additif des réels, muni de l'ordre hérité de l'ordre usuel de ℝ, possède cette propriété. Réciproquement, tout groupe abélien totalement ordonné et archimédien est isomorphe à un sous-groupe de (ℝ, +) : sa structure de groupe et son ordre peuvent être représentés fidèlement parmi les réels.

La structure réunit quatre ingrédients. Le groupe commutatif G fournit les éléments, l'addition, l'élément neutre 0 et les opposés. L'ordre total permet de comparer toute paire d'éléments. La compatibilité relie les deux structures : une même translation préserve une inégalité. La condition archimédienne impose qu'un multiple entier d'un élément positif puisse dépasser tout élément plus grand.

L'ordre donne un sens à « positif » et à « dépasser » ; l'addition construit les multiples n·a. Sans l'un de ces liens, la condition n'est pas définie. Ces données suffisent à tester des couples a, b et, dans le cas archimédien, à représenter le groupe comme un sous-groupe ordonné des réels.

Prenons le groupe additif des entiers ℤ avec son ordre habituel. Choisissons l'élément positif a = 3 et la cible b = 10. On a bien 0 < 3 ≤ 10. La figure associée matérialise les additions successives sur une droite graduée.

1. Une addition donne 1·3 = 3, encore inférieur à 10.
2. Deux additions donnent 2·3 = 6, encore inférieur à 10.
3. Trois additions donnent 3·3 = 9, encore inférieur à 10.
4. Quatre additions donnent 4·3 = 12, qui dépasse 10.

Le témoin recherché est donc l'entier naturel n = 4 :
Le contrôle se refait en comparant 10 à 12. Cet exemple vérifie la condition pour le couple choisi ; le caractère archimédien de ℤ exige qu'elle vaille pour tous les couples admissibles.

Pour tester une situation concrète, on fixe un pas positif a et une cible b, puis on cherche un entier naturel n tel que n·a dépasse b. Avec a = 3 et b = 10, quatre pas suffisent.

Pour reconnaître un exemple standard, on regarde si le groupe ordonné est déjà un sous-groupe de (ℝ, +) muni de la restriction de l'ordre usuel des réels. Si oui, la propriété archimédienne est acquise ; il n'est pas nécessaire de reprendre chaque couple séparément.

Pour analyser une structure ordonnée plus abstraite, le bon geste consiste à chercher un éventuel élément positif dont tous les multiples restent sous une même borne. En trouver un réfute immédiatement la propriété archimédienne.

Groupe totalement ordonné. L'ordre total et sa compatibilité avec l'addition ne suffisent pas à rendre le groupe archimédien. Le critère décisif est supplémentaire : tout élément positif doit finir par dépasser toute cible par multiplication entière.

Propriété d'Archimède des réels. Elle est le modèle particulier de la condition, appliqué aux nombres réels positifs. Un groupe archimédien est une structure plus générale, dont les éléments ne sont pas nécessairement tous les réels, même s'il est isomorphe à un sous-groupe de (ℝ, +).

Un exemple ne prouve pas la propriété générale. Le calcul 10 < 4·3 établit la condition pour a = 3 et b = 10 seulement. Pour conclure que le groupe est archimédien, il faut un argument valable pour tous les couples 0 < a ≤ b.

Le pas doit être strictement positif. Avec a = 0, aucune addition répétée ne dépasse une cible positive. Ce cas est exclu par l'hypothèse 0 < a ; il ne constitue donc pas un contre-exemple.

L'entier n dépend du couple choisi. La définition n'exige pas un entier universel qui conviendrait à toutes les valeurs de a et b. Dans l'exemple, n = 4 convient à 3 et 10 ; une autre cible peut imposer un autre témoin.

L'ordre est indispensable. Dans un groupe seulement commutatif, les expressions « positif », « inférieur » et « dépasser » n'ont pas de sens fixé. Il faut d'abord disposer d'un ordre total compatible avant de poser la question archimédienne.

La fiche Ordre total précise la comparaison de toute paire d'éléments, indispensable pour définir les éléments positifs d'un groupe archimédien.

La fiche Isomorphisme (théorème d') éclaire ce que signifie représenter fidèlement un groupe archimédien comme sous-groupe de (ℝ, +).