Produit direct de groupes

Imaginez deux compteurs qui avancent indépendamment : l'un revient à zéro après 2, l'autre après 3. Leur état commun est un couple, par exemple (1, 2). Pour combiner deux états, on effectue la même opération sur chaque compteur, sans mélanger leurs valeurs.

Le produit direct formalise cette juxtaposition. Il fabrique un nouveau groupe à partir de deux groupes, tout en laissant reconnaissable le fonctionnement de chaque composante.

Soient G et H deux groupes. Leur produit direct, noté G × H, a pour éléments tous les couples (g, h), où g appartient à G et h appartient à H. Si la loi de chaque groupe est notée multiplicativement, la loi du produit agit composante par composante : $(g_1,h_1)(g_2,h_2)=(g_1{g}_2,h_1{h}_2)(g\_1,h\_1)(g\_2,h\_2)=(g\_1g\_2,h\_1h\_2)$.

L'élément neutre est le couple formé des neutres de G et de H. L'inverse d'un couple s'obtient en inversant chacune de ses composantes. Aucune commutativité n'est requise : G × H est abélien exactement lorsque G et H le sont tous les deux. La construction s'étend à un nombre fini, voire infini, de facteurs.

Cette construction est le produit dans la catégorie des groupes : ses projections vers G et H permettent de retrouver chaque composante. En particulier, le théorème de structure affirme que tout groupe abélien de type fini est isomorphe à un produit direct de groupes cycliques. L'isomorphisme signifie ici que la décomposition préserve toute la loi de groupe, pas seulement le nombre d'éléments.

Prenons le groupe A des entiers modulo 2, dont les éléments sont 0 et 1, et le groupe B des entiers modulo 3, dont les éléments sont 0, 1 et 2. Dans les deux groupes, la loi est l'addition modulo 2 ou modulo 3. Nous allons suivre le couple x = (1, 2) dans A × B.

1. Formons tous les couples possibles :
Le produit contient donc 2 × 3 = 6 éléments.

2. Additionnons x à lui-même, composante par composante :
La première composante revient à 0 tandis que la seconde avance jusqu'à 1.

3. Poursuivons les additions : 3x = (1, 0), puis 6x = (0, 0). Le retour au neutre exige un nombre d'additions divisible à la fois par 2 et par 3 ; le premier nombre positif possible est 6.

Le contrôle consiste à énumérer 0x, 1x, 2x, 3x, 4x et 5x : on obtient les six couples, tous distincts. Ainsi A × B est ici un groupe cyclique à 6 éléments, engendré par x. La figure rassemble les six couples et le cycle parcouru.

Pour calculer dans G × H, on garde les composantes séparées. On multiplie les entrées de G entre elles et celles de H entre elles ; cette organisation évite de confondre deux lois qui peuvent être très différentes.

Pour étudier un groupe abélien de type fini, une décomposition en facteurs cycliques ramène la structure à des briques plus simples. Une simple liste d'éléments ne suffit pas : il faut un isomorphisme qui respecte la loi.

Pour relier des congruences, le théorème chinois des restes fournit un produit direct lorsque les modules sont premiers entre eux. Si ce critère échoue, on ne peut pas conclure que le groupe cyclique de module produit se décompose de la même façon.

Produit cartésien d'ensembles. Il fournit les mêmes couples, mais aucune loi de groupe. Le test est simple : si aucune opération composante par composante n'est donnée, on n'a encore qu'un ensemble.

Produit semi-direct. Dans un produit direct, les deux facteurs n'agissent pas l'un sur l'autre. Dans un produit semi-direct, une action par automorphismes d'un facteur sur l'autre intervient dans la multiplication ; lorsque cette action est non triviale, la construction n'est pas directe relativement aux facteurs considérés.

Somme directe. Pour un nombre fini de groupes abéliens, somme directe et produit direct ont les mêmes éléments. Avec une famille infinie, la somme directe impose que seules un nombre fini de composantes soient non nulles, contrairement au produit direct.

Un produit direct n'est pas forcément abélien. Si l'un des facteurs contient deux éléments qui ne commutent pas, les couples correspondants ne commutent pas non plus. Il faut donc vérifier chaque facteur avant d'utiliser des raisonnements propres aux groupes abéliens.

Le nombre d'éléments ne détermine pas la structure. Le groupe cyclique à 4 éléments et le produit de deux groupes cycliques à 2 éléments ont chacun 4 éléments, mais seul le premier possède un élément d'ordre 4. Il faut comparer la loi ou les ordres des éléments.

Un facteur trivial ne crée pas une structure nouvelle. Si H ne contient que son élément neutre, G × H est isomorphe à G. Pour parler d'une décomposition non triviale, on demande donc des facteurs ayant chacun plus d'un élément.

La décomposition annoncée par la source concerne les groupes abéliens de type fini. Elle ne permet pas de conclure qu'un groupe non abélien quelconque est un produit de groupes cycliques. Hors de ces hypothèses, il faut rechercher d'autres facteurs ou une autre construction.

groupe cyclique — Pour approfondir les facteurs simples qui interviennent dans la décomposition des groupes abéliens de type fini.

Isomorphisme (théorème d') — Pour préciser ce que signifie conserver exactement la structure d'un groupe lors d'une décomposition.

Le théorème des restes chinois — Pour voir comment des congruences de modules premiers entre eux conduisent à un produit direct.

Produit semi-direct — Pour étudier la construction voisine dans laquelle un facteur agit sur l'autre.