Groupe dual

Imaginez un compteur qui avance d'un nombre entier de pas. À chaque pas, une aiguille tourne sur un cercle, toujours du même angle. Deux déplacements successifs produisent la même position que leur somme. Chaque règle de rotation compatible avec l'addition est un caractère de ℤ.

Le groupe dual rassemble toutes ces règles et permet de les multiplier. Il transforme ainsi les déplacements du groupe de départ en oscillations sur le cercle unité.

Soit G un groupe abélien localement compact. On note T le groupe des nombres complexes de module 1, muni de la multiplication. Un caractère de G est un homomorphisme continu de G vers T : pour tous éléments x et y de G, il vérifie $\chi (x+y)=\chi (x)\chi (y)\backslash chi(x+y)=\backslash chi(x)\backslash chi(y)$ lorsque la loi de G est écrite additivement.

Le groupe dual, généralement noté $\widehat{G}\backslash widehat\; G$, est l'ensemble de ces caractères. Sa loi est la multiplication point par point : le produit de deux caractères χ et ψ envoie x sur χ(x)ψ(x). Son élément neutre est le caractère constant égal à 1, et l'inverse d'un caractère prend les valeurs complexes conjuguées. La topologie compacte-ouverte, équivalente ici à la convergence uniforme sur chaque compact de G, fait à nouveau du dual un groupe abélien localement compact.

Pour ℝ, chaque réel ξ fournit le caractère qui envoie x sur $e^{2\pi i\xi x}e^\{2\backslash pi\; i\backslash xi\; x\}$, ce qui identifie son dual à ℝ après choix de cette convention. Pour ℤ, un caractère est entièrement déterminé par l'image de 1, donc son dual s'identifie à T. Enfin, l'application d'évaluation envoie chaque x de G sur le caractère du dual qui associe à χ la valeur χ(x). Le théorème de dualité de Pontryagin affirme que cette application identifie canoniquement G à son bidual.

Cinq éléments structurent la construction. Le groupe de départ G fournit les éléments à observer. Le cercle unité T fournit les valeurs possibles. Les caractères continus respectent la loi de G tout en variant sans rupture imposée par sa topologie. La multiplication point par point donne la loi du dual. Enfin, la topologie compacte-ouverte précise quand une famille de caractères converge.

La loi dépend du choix des caractères, tandis que la condition de continuité dépend de la topologie de G. La topologie du dual dépend à son tour du comportement de ces caractères sur les parties compactes. Ces données suffisent à construire $\widehat{G}\backslash widehat\; G$, puis à former son dual et l'application d'évaluation vers le bidual.

Prenons le groupe additif ℤ. Les données sont l'entier n, le paramètre t = 1/4 et le cercle unité T. On étudie le caractère χ_t qui associe à n le nombre complexe ${\chi }_t(n)=e^{2\pi int}\backslash chi\_t(n)=e^\{2\backslash pi\; i\; n\; t\}$.

1. Calculer les premières valeurs.
Pour n = 0, 1, 2, 3 et 4, on obtient successivement 1, i, −1, −i et 1. L'aiguille effectue donc un quart de tour à chaque pas et revient au départ après quatre pas.

2. Vérifier la loi.
Avec 2 + 3 = 5, le calcul direct donne χ_t(5) = i. De l'autre côté, χ_t(2)χ_t(3) = (−1)(−i) = i. Les deux résultats coïncident.

3. Repérer ce qui détermine le caractère.
La seule valeur χ_t(1) = i impose toutes les autres, car χ_t(n) est la puissance entière n-ième de i. Tout point de T peut remplacer i et définit de la même manière un caractère de ℤ.

4. Conclure et contrôler.
Les caractères de ℤ sont donc paramétrés exactement par les points de T. Le contrôle est immédiat sur le cycle : χ_t(n + 4) = χ_t(n), puisque quatre quarts de tour forment un tour complet.

Sur ℝ, les caractères servent de fréquences élémentaires à la transformée de Fourier. Quand le phénomène est périodique, une série de Fourier est souvent la présentation la plus directe ; le groupe dual permet de replacer les deux cadres dans une même construction.

Sur ℤ, choisir un point de T revient à choisir la rotation produite par un pas entier. Si les données sont périodiques modulo un entier N, le groupe cyclique fini remplace ℤ et conduit à un nombre fini de fréquences, comme dans la transformée de Fourier discrète.

Dans l'analyse harmonique abstraite, le dual est adapté lorsque le groupe est abélien et localement compact. Pour un groupe non abélien, les caractères à valeurs dans T ne captent généralement pas toute la structure ; on fait plutôt intervenir des représentations unitaires de dimension supérieure.

Dual d'un espace vectoriel. Il rassemble des applications linéaires vers le corps des scalaires, tandis que le groupe dual rassemble des homomorphismes continus vers T. Pour ℝ vu comme espace vectoriel réel, une forme linéaire prend des valeurs réelles ; un caractère prend des valeurs sur le cercle unité.

Ensemble de tous les homomorphismes. La continuité fait partie de la définition du dual topologique. Si le groupe de départ porte une topologie non discrète, retenir aussi les homomorphismes discontinus produit un autre objet.

Transformée de Fourier. Le dual est le domaine où vivent les fréquences ; la transformée est l'opération qui associe une fonction sur G à une fonction sur ce domaine. L'un est un groupe, l'autre est une transformation de fonctions.

Oublier l'hypothèse abélienne. Pour un groupe non abélien, les homomorphismes vers T ne voient que sa partie abélienne. Le symptôme est que des éléments distincts deviennent indiscernables par tous ces caractères. Il faut alors employer la théorie des représentations plutôt que transposer telle quelle la dualité de Pontryagin.

Négliger la topologie. Deux groupes ayant la même loi abstraite mais des topologies différentes peuvent ne pas avoir les mêmes caractères continus. Il faut préciser la topologie de G et conserver la topologie compacte-ouverte sur le dual.

Lire un isomorphisme comme une égalité. Le dual de ℝ est identifié à ℝ au moyen d'une convention telle que $x\mapsto e^{2\pi i\xi x}x\backslash mapsto\; e^\{2\backslash pi\; i\backslash xi\; x\}$. Changer le signe ou le facteur de normalisation change cette identification, sans changer le groupe dual lui-même.

Étendre le théorème sans ses hypothèses. L'identification canonique avec le bidual est garantie ici pour les groupes abéliens localement compacts. Hors de ce cadre, il faut vérifier séparément si l'application d'évaluation est injective, surjective et compatible avec la topologie.

homomorphisme de groupes — Revoir la règle de compatibilité que chaque caractère doit satisfaire.

Transformée de Fourier — Relier les caractères du dual aux fréquences utilisées pour analyser une fonction.