Produit semi-direct

Prenons un triangle équilatéral en carton. On peut le faire tourner d’un tiers de tour, mais aussi le retourner suivant un axe de symétrie. Les rotations forment un premier groupe. Une réflexion forme, avec l’identité, un second groupe.

Ces deux familles ne se combinent pas indépendamment : effectuer une réflexion change le sens d’une rotation. Le produit semi-direct décrit précisément cet assemblage, dans lequel un groupe agit sur l’autre.

Soient N et H deux groupes. Une action de H sur N par automorphismes est un morphisme, noté φ, de H vers le groupe des automorphismes de N. Le produit semi-direct externe construit alors un groupe sur l’ensemble des couples formés d’un élément de N et d’un élément de H. Si n et n′ appartiennent à N, tandis que h et h′ appartiennent à H, la multiplication est : $(n,h)(n^{\mathrm{\prime }},h^{\mathrm{\prime }})=(n\phi (h)(n^{\mathrm{\prime }}),h{h}^{\mathrm{\prime }})(n,h)(n\text{'},h\text{'})=(n\backslash ,\backslash varphi(h)(n\text{'}),hh\text{'})$.

À l’intérieur d’un groupe G, on reconnaît la même structure lorsque N est un sous-groupe distingué de G, que H est un sous-groupe de G, que tout élément de G s’écrit comme un produit nh, et que l’intersection de N et H ne contient que l’élément neutre e. Cette écriture est alors unique. L’action est celle de H sur N par conjugaison : $\phi (h)(n)=hn{h}^{-1}\backslash varphi(h)(n)=hnh^\{-1\}$.

On note souvent ce groupe N ⋊_φ H, avec le facteur normal à gauche. D’autres auteurs inversent l’ordre ou emploient ⋉ : la notation seule ne suffit donc pas, et il faut toujours identifier le facteur normal ainsi que le sens de l’action. Si l’action est triviale, la construction se réduit au produit direct. Les six symétries du triangle illustrent au contraire une action non triviale.

Considérons les symétries d’un triangle équilatéral. Données : r est la rotation de 120°, s est une réflexion, r³ = e, s² = e. Le sous-groupe N des rotations contient e, r et r². Le sous-groupe H contient e et s.

1. La conjugaison par s renverse le sens de la rotation : $sr{s}^{-1}=r^{-1}=r^{2}srs^\{-1\}=r^\{-1\}=r^2$. L’action de H sur N n’est donc pas triviale.

2. Chaque symétrie s’écrit sous la forme rⁱs^ε, où l’exposant i vaut 0, 1 ou 2 et où ε vaut 0 ou 1. On obtient ainsi e, r, r², s, rs et r²s.

3. Il y a 3 × 2 = 6 écritures possibles. Elles sont distinctes, car N et H n’ont en commun que e.

4. Le groupe des symétries du triangle est donc le produit semi-direct du groupe cyclique à trois éléments par celui à deux éléments. Pour contrôler le résultat, on compte directement trois rotations et trois réflexions, soit six symétries.

Pour reconnaître un produit semi-direct dans un groupe G, on cherche d’abord un sous-groupe distingué N, puis un sous-groupe H qui rencontre N seulement en l’élément neutre. Il reste à vérifier que tout élément de G se décompose sous la forme nh.

On calcule ensuite la conjugaison hnh⁻¹. Si elle laisse chaque élément de N inchangé, le produit direct suffit. Si elle transforme certains éléments, comme la réflexion qui inverse les rotations du triangle, le produit semi-direct conserve cette interaction.

Dans l’étude d’une extension de groupes, cette décomposition permet de reconstruire le groupe à partir du sous-groupe normal, du quotient représenté par un complément et de leur action. Si aucun complément convenable n’existe, l’extension ne se décrit pas par un produit semi-direct.

Produit direct. Dans un produit direct, les deux facteurs commutent élément par élément et l’action est triviale. Dans le groupe du triangle, la relation sr = r²s montre que la réflexion et la rotation ne commutent pas : le produit est semi-direct, mais pas direct.

Extension de groupes. Une extension fournit un sous-groupe normal N et un quotient, mais pas forcément un sous-groupe H qui représente ce quotient dans le groupe. Elle est un produit semi-direct seulement lorsqu’un tel complément H existe et satisfait G = NH avec N ∩ H = {e}.

Action triviale. Si tout élément de H fixe tout élément de N par conjugaison, l’écriture semi-directe reste possible, mais elle décrit le cas dégénéré du produit direct. Le symptôme est hnh⁻¹ = n pour tous n et h ; on peut alors employer la notation du produit direct.

Notation variable. Les symboles ⋊ et ⋉ ne placent pas le facteur normal du même côté chez tous les auteurs. Avant tout calcul, il faut lire la définition de la multiplication ou repérer quel facteur est distingué et quel facteur agit.

Décomposition absente. La seule présence d’un sous-groupe distingué N ne suffit pas. Si aucun sous-groupe H ne complète N, ou si l’intersection contient autre chose que e, les conditions du produit semi-direct interne échouent ; il faut alors étudier l’extension sans supposer qu’elle est scindée.

Action de groupe — Approfondir le mécanisme qui associe à chaque élément de H un automorphisme de N.

groupe diédral — Retrouver la famille de symétries dont le cas du triangle fournit l’exemple conducteur.