groupe diédral

Prenez un carré découpé et reposez-le exactement sur son contour. Vous pouvez le tourner d'un quart, d'un demi ou de trois quarts de tour, ou le retourner selon l'un de ses quatre axes. Avec la position initiale, cela donne huit déplacements qui laissent le carré visuellement inchangé.

Le groupe diédral rassemble ces symétries et indique comment leur enchaînement se comporte. L'ordre des gestes compte : effectuer une réflexion puis une rotation ne produit pas toujours le même placement que les effectuer dans l'ordre inverse.

Pour un polygone régulier convexe à n côtés, où n est un entier au moins égal à 3, le groupe diédral est l'ensemble des isométries du plan qui envoient le polygone sur lui-même. L'opération du groupe est la composition de ces transformations. Il possède 2n éléments : l'identité, n − 1 rotations non triviales autour du centre et n réflexions.

On note r la rotation d'angle 2π/n et s une réflexion. Toute symétrie s'écrit r^k ou r^ks, pour un entier k compris entre 0 et n − 1 ; dans un produit, la transformation la plus à droite agit la première. Les relations qui déterminent leurs compositions sont :Ici, e désigne l'identité. La dernière relation exprime qu'une réflexion inverse le sens d'une rotation. Pour n ≥ 3, l'ordre de composition compte : le groupe n'est pas abélien.

Deux conventions de notation coexistent : Dₙ peut désigner le groupe à 2n éléments, tandis que certains auteurs écrivent D_2n pour faire apparaître son ordre. Le cas n = 2 est traité abstraitement comme le groupe de Klein V₄, mais il ne correspond pas à un polygone régulier convexe non dégénéré du plan usuel.

Le groupe diédral repose sur cinq éléments de structure. Le polygone régulier fixe l'objet à conserver. La composition enchaîne deux isométries. L'identité e ne déplace aucun point. Les puissances d'une rotation r donnent les n rotations, tandis qu'une réflexion s et ses compositions avec r donnent les n réflexions.

L'ordre n de r dépend du nombre de côtés : après n pas angulaires de 2π/n, le polygone revient à sa position initiale. La réflexion dépend de l'axe choisi, mais tout choix d'un axe avec r engendre les mêmes 2n symétries. Les trois relations entre e, r et s suffisent à réduire toute succession de gestes à l'une de ces 2n transformations. La taille, la couleur et l'orientation initiale du dessin ne définissent pas le groupe.

Considérons un carré dont les sommets 1, 2, 3 et 4 sont numérotés dans le sens horaire, à partir du sommet du haut. La rotation r est un quart de tour horaire. La réflexion s a pour axe la verticale passant par les sommets 1 et 3. Les compositions sont lues de droite à gauche.

1. Appliquons s puis r au sommet 1 : s fixe 1, puis r envoie 1 sur 2. Ainsi, rs envoie 1 sur 2.
2. Appliquons r puis s au même sommet : r envoie 1 sur 2, puis s envoie 2 sur 4. Ainsi, sr envoie 1 sur 4.
3. Puisque 2 et 4 sont distincts, rs et sr sont deux symétries différentes.

Le contrôle consiste à refaire les gestes sur le carré : les deux parcours aboutissent à des sommets opposés. Le groupe contient bien huit éléments, soit quatre rotations et quatre réflexions, et cet exemple vérifie concrètement qu'il n'est pas commutatif.

Pour inventorier les symétries d'une forme régulière, on compte d'abord ses côtés. Le groupe diédral fournit alors la liste complète des rotations et réflexions qui la conservent. Si la forme n'est pas régulière, il faut examiner directement ses isométries, car le modèle diédral complet peut être trop grand.

Pour comparer deux enchaînements de symétries, on suit un sommet repéré. Si ce sommet n'arrive pas au même endroit, les transformations sont différentes. S'il arrive au même endroit, on poursuit avec d'autres sommets ; les images de trois points non alignés déterminent l'isométrie du plan.

En algèbre, les générateurs r et s évitent d'énumérer des gestes longs. On remplace les répétitions grâce aux relations du groupe jusqu'à obtenir une rotation ou une réflexion standard. Une table de composition reste préférable lorsque l'on veut lire tous les produits d'un petit groupe d'un seul regard.

Une réflexion est une seule isométrie, déterminée par un axe. Le groupe diédral est l'ensemble fermé sous composition de toutes les rotations et réflexions du polygone. Pour un carré, une réflexion est donc l'un des huit éléments, pas le groupe entier.

Le groupe des rotations ne contient que les n rotations et il est commutatif. Le groupe diédral ajoute n réflexions. Sur le carré, quatre éléments contre huit permettent de trancher immédiatement entre les deux structures.

Le groupe symétrique de n objets autorise toutes leurs permutations. Le groupe diédral n'autorise que celles produites par les isométries du polygone. Pour quatre sommets, il fournit 8 permutations géométriques, et non les 24 permutations possibles.

La lettre D ne fixe pas à elle seule l'ordre du groupe. Selon les auteurs, Dₙ ou D_2n peut nommer le groupe à 2n éléments. Il faut donc lire la convention annoncée ou vérifier le nombre d'éléments avant d'utiliser une formule.

Pour n = 2, la présentation algébrique donne quatre éléments et le groupe de Klein V₄. Un polygone régulier convexe à deux côtés n'existe toutefois pas comme figure non dégénérée dans le plan euclidien usuel. Il faut alors comprendre D₂ comme un cas algébrique, ou réaliser V₄ par les symétries d'un rectangle non carré.

Les axes de réflexion changent avec la parité de n. Si n est impair, chaque axe passe par un sommet et le milieu du côté opposé. Si n est pair, la moitié joint deux sommets opposés et l'autre moitié joint les milieux de deux côtés opposés. Parler seulement de « diagonales » ou de « médianes des côtés » masque cette distinction.

La non-commutativité commence au cas géométrique n = 3. Le cas n = 2 est commutatif. Pour décider dans un calcul, il ne faut donc pas permuter r et s par habitude : la relation correcte remplace une rotation par son inverse lorsqu'elle traverse une réflexion.

La fiche Réflexion précise la transformation géométrique qui fournit la moitié des éléments d'un groupe diédral.

L'article Les débuts des groupes replace la composition des transformations dans l'émergence de la notion de groupe.