Automorphisme intérieur

Imaginez les permutations de trois objets. Choisir le cycle (123), puis conjuguer une permutation, revient à renommer temporairement 1 en 2, 2 en 3 et 3 en 1. La transposition qui échange 1 et 2 devient alors celle qui échange 2 et 3.

Cette transformation est dite intérieure parce que l'élément qui effectue le changement appartient au groupe lui-même. Elle ne détruit pas la structure : les produits et les inverses restent compatibles avec ce renommage.

Soit un groupe G, écrit multiplicativement. Pour un élément fixé g de G, l'application associée à g envoie chaque élément x de G sur son conjugué par g : ${\phi }_g(x)=gx{g}^{-1}\backslash varphi\_g(x)=gxg^\{-1\}$. Cette application est bijective, car sa réciproque est la conjugaison par l'inverse g⁻¹. Elle respecte aussi le produit : l'image de xy est le produit de l'image de x et de l'image de y. C'est donc un automorphisme de G.

Les automorphismes ainsi obtenus forment le sous-groupe Inn(G) du groupe Aut(G) de tous les automorphismes de G. L'association qui envoie g sur φ_g est un homomorphisme de G vers Inn(G). Son noyau est le centre Z(G), c'est-à-dire l'ensemble des éléments qui commutent avec tout G. On obtient ainsi l'isomorphisme $\mathrm{Inn}(G)\simeq G\mathrm{/}Z(G)\backslash operatorname\{Inn\}(G)\backslash simeq\; G/Z(G)$.

Le sous-groupe Inn(G) est distingué dans Aut(G) : conjuguer un automorphisme intérieur par n'importe quel automorphisme donne encore un automorphisme intérieur. Le quotient Aut(G)/Inn(G) est le groupe des automorphismes extérieurs. Il mesure les symétries de G qui ne proviennent pas d'une conjugaison par un élément de G.

Dans le groupe S₃ des permutations de {1, 2, 3}, la composition s'effectue de droite à gauche. Données : l'élément fixé est g = (123), son inverse est g⁻¹ = (132), et l'élément à transformer est x = (12).

1. La conjugaison par g renomme chaque nombre i en son image g(i).

2. Comme g envoie 1 sur 2 et 2 sur 3, la transposition (12) devient la transposition (23).

3. Pour contrôler le produit de droite à gauche, on applique successivement g⁻¹, x, puis g : 1 → 3 → 3 → 1, 2 → 1 → 2 → 3, et 3 → 2 → 1 → 2. Le calcul donne donc $(123)(12)(132)=(23)(123)(12)(132)=(23)$.

4. En répétant le même calcul, (23) devient (13), puis (13) devient (12). L'automorphisme φ₍₁₂₃₎ fait ainsi tourner les trois transpositions en un cycle.

Le schéma de cette orbite permet de contrôler les trois images sans ambiguïté. Un second contrôle consiste à conjuguer trois fois : comme (123)³ est l'identité, chaque transposition revient à son point de départ.

Pour étudier les éléments d'un groupe, on regroupe ceux que les automorphismes intérieurs transforment les uns en les autres. On obtient les classes de conjugaison. Si deux éléments ne sont pas conjugués, il faut conserver deux classes distinctes.

Pour connaître les conjugaisons qui laissent un élément x inchangé, on cherche les éléments qui commutent avec x. Ils forment son centralisateur. On préfère donc le centralisateur à l'ensemble du groupe dès que le critère observable est l'égalité gxg⁻¹ = x.

Pour comparer toutes les symétries d'un groupe à celles produites de l'intérieur, on calcule Inn(G), puis le quotient Aut(G)/Inn(G). Un quotient non trivial signale qu'il existe des automorphismes qui ne viennent d'aucune conjugaison interne.

Élément conjugué. L'élément gxg⁻¹ est l'image de x, tandis que l'automorphisme intérieur est l'application qui transforme simultanément tous les éléments. Dans S₃, (23) est le conjugué de (12) par (123) ; φ₍₁₂₃₎ est la transformation entière.

Automorphisme quelconque. Un automorphisme est intérieur seulement s'il existe un même élément g tel que chaque x soit envoyé sur gxg⁻¹. Vérifier la propriété sur un seul élément ne suffit pas.

Centralisateur et centre. Le centralisateur d'un élément x rassemble ce qui commute avec ce x précis. Le centre impose de commuter avec tous les éléments du groupe. Le premier dépend de x ; le second est le noyau commun de toutes les conjugaisons.

Groupe abélien. Si tous les éléments commutent, alors gxg⁻¹ = x pour chaque g et chaque x. Inn(G) se réduit à l'identité, même si Aut(G) peut contenir d'autres automorphismes.

Élément conjugateur non unique. Deux éléments g et h produisent le même automorphisme intérieur exactement lorsque h⁻¹g appartient au centre Z(G). Il faut donc identifier les classes modulo le centre, et non compter naïvement un automorphisme par élément.

Convention de conjugaison. Certains textes utilisent x ↦ g⁻¹xg au lieu de x ↦ gxg⁻¹. Les deux conventions engendrent le même ensemble Inn(G), mais elles associent des éléments inverses aux applications. Il faut fixer la convention avant un calcul.

Automorphisme extérieur. Un élément de Aut(G)/Inn(G) est une classe d'automorphismes modulo les automorphismes intérieurs. Parler d'un « automorphisme extérieur » comme d'un représentant unique masque ce quotient : plusieurs automorphismes peuvent représenter la même classe.

Le Centralisateur décrit les éléments qui laissent un élément fixé sous conjugaison et permet d'en déterminer la classe.

Le Centre d'un groupe explique pourquoi plusieurs éléments conjugateurs peuvent définir exactement le même automorphisme intérieur.

Le Groupe quotient donne le cadre nécessaire pour lire Inn(G) ≃ G/Z(G) et Aut(G)/Inn(G).