AlgèbreNotion · Glossaire
Conjugués (éléments)
Deux éléments d'un groupe sont dits conjugués s'il existe un élément du groupe transformant l'un en l'autre par conjugaison : b est conjugué de a s'il existe g tel que b = g a g^{-1}. La relation de conjugaison est une relation d'équivalence dont les classes sont les classes de conjugaison. Un sous-groupe est normal si et seulement si il est stable par conjugaison. En théorie des corps, deux éléments algébriques sont conjugués s'ils ont le même polynôme minimal sur le corps de base.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la formule de conjugaison dans un groupe.
- Refaire le calcul d'un conjugué dans S₃.
- Relier classes de conjugaison, automorphismes intérieurs et sous-groupes normaux.
- Distinguer la conjugaison de groupe de la conjugaison en théorie des corps.
En clair
Imaginez une permutation qui échange les places 1 et 2. Si l'on renomme simultanément les places par le cycle 1 → 2 → 3 → 1, le même échange porte désormais sur 2 et 3. Les deux permutations accomplissent donc le même type d'action, avec des étiquettes différentes.
Dans un groupe, cette transformation par changement de point de vue s'appelle la conjugaison. Les éléments reliés de cette manière sont conjugués et sont rangés dans une même classe de conjugaison.
Définition
Soit un groupe G. Deux de ses éléments, notés a et b, sont conjugués lorsqu'il existe un élément g de G tel que . L'élément g−1 est l'inverse de g. L'application qui envoie a sur gag−1 est un automorphisme intérieur de G.
La conjugaison est une relation d'équivalence : chaque élément est conjugué à lui-même, la relation est symétrique et elle est transitive. La classe de conjugaison de a réunit tous les éléments gag−1 obtenus lorsque g parcourt G. Un sous-groupe H de G est normal exactement lorsque ghg−1 appartient à H pour tout élément g de G et tout élément h de H.
Le mot a aussi un sens en théorie des corps. Sur un corps de base K, deux éléments algébriques situés dans une même clôture algébrique de K sont conjugués sur K lorsqu'ils ont le même polynôme minimal sur K. Cette conjugaison algébrique ne doit pas être confondue avec l'opération interne d'un groupe.
Un exemple, pas à pas
Dans le groupe S3 des permutations de 1, 2 et 3, prenons a comme l'échange de 1 et 2, et g comme le cycle qui envoie 1 sur 2, 2 sur 3 et 3 sur 1. Les permutations sont composées de droite à gauche.
1. L'inverse de g renvoie 1 sur 3, 2 sur 1 et 3 sur 2.
2. Pour suivre gag−1, on applique successivement g−1, puis a, puis g.
3. Le nombre 1 reste fixé : 1 → 3 → 3 → 1.
4. Le nombre 2 arrive en 3 : 2 → 1 → 2 → 3.
5. Le nombre 3 arrive en 2 : 3 → 2 → 1 → 2.
2. Pour suivre gag−1, on applique successivement g−1, puis a, puis g.
3. Le nombre 1 reste fixé : 1 → 3 → 3 → 1.
4. Le nombre 2 arrive en 3 : 2 → 1 → 2 → 3.
5. Le nombre 3 arrive en 2 : 3 → 2 → 1 → 2.
On obtient donc l'échange de 2 et 3 : . Le contrôle est immédiat : les deux permutations fixent un nombre et échangent les deux autres. Dans S3, les trois échanges ont ainsi le même type de cycles et appartiennent à une même classe de conjugaison. La figure rend visible ce simple changement d'étiquettes.
En pratique
Pour classer les permutations, on regarde leur décomposition en cycles. Dans S3, un échange comme celui de 1 et 2 est conjugué aux deux autres échanges, tandis qu'un cycle de longueur trois appartient à une autre classe.
Pour tester si un sous-groupe H est normal, il faut contrôler que conjuguer chacun de ses éléments par les éléments du groupe ne fait jamais sortir de H. Si ce contrôle échoue, H reste un sous-groupe, mais il n'est pas normal.
En théorie des corps, le geste change : on calcule le polynôme minimal sur le corps de base. Deux éléments algébriques ayant ce même polynôme sont alors conjugués sur cette base, même si aucune multiplication gag−1 n'intervient.
À ne pas confondre
Éléments conjugués et éléments inverses. L'inverse de a est l'élément a−1 qui donne l'élément neutre lorsqu'on le compose avec a. Un conjugué de a a la forme gag−1. Dans S3, l'échange de 1 et 2 est son propre inverse, mais l'échange de 2 et 3 lui est conjugué sans être son inverse.
Conjugaison dans un groupe et conjugaison complexe. Le conjugué complexe de x + iy est x − iy. Il provient d'un automorphisme du corps des nombres complexes qui fixe les réels, et non nécessairement d'une expression gag−1 dans le groupe multiplicatif, qui est commutatif.
Limites et pièges
Dans un groupe commutatif. Puisque ga = ag, on a gag−1 = a pour tout g. Chaque classe de conjugaison contient donc un seul élément. Le vocabulaire reste valable, mais il ne regroupe aucun élément distinct.
Un invariant commun ne suffit pas toujours. Des éléments conjugués partagent de nombreuses propriétés, notamment leur ordre. La réciproque est fausse dans un groupe général : avoir le même ordre ne prouve pas la conjugaison. Il faut produire un g convenable ou caractériser la classe dans le groupe étudié.
Le corps de base est indispensable. Un polynôme minimal est défini relativement à un corps K. Changer K peut changer le polynôme et donc les éléments considérés comme conjugués. De plus, l'égalité des polynômes minimaux fournit un isomorphisme entre K(a) et K(b), mais pas automatiquement un automorphisme de toute extension ambiante arbitraire.
Pour aller plus loin
L'Automorphisme intérieur formalise la transformation a ↦ gag−1 et explique pourquoi la conjugaison préserve la structure du groupe.
Le Polynôme minimal précise le second sens du mot « conjugués » pour des éléments algébriques sur un corps de base.
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