AlgèbreNotion · Glossaire
Double classe
Une double classe dans un groupe G relativement à deux sous-groupes H et K est un sous-ensemble de G de la forme HgK = {hgk : h ∈ H, k ∈ K} pour un élément g fixé. Les doubles classes partitionnent le groupe G en classes disjointes, généralisant les classes à gauche ou à droite d'un seul sous-groupe. La décomposition de Bruhat et la décomposition de Cartan en sont des exemples importants en théorie des groupes de Lie. Les doubles classes interviennent en théorie des représentations et en combinatoire des groupes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir précisément l’ensemble HgK et le rôle des deux sous-groupes.
- Construire les doubles classes d’un exemple dans S3.
- Contrôler leur taille et distinguer double classe, classe latérale et classe de conjugaison.
En clair
Imaginez les six permutations de trois objets. On choisit une permutation, puis on autorise certaines permutations avant elle et certaines autres après elle. Tous les résultats que l’on peut ainsi obtenir forment un même paquet : une double classe.
En recommençant avec un résultat qui n’appartient pas encore à un paquet, on range finalement tout le groupe sans chevauchement. La taille des paquets peut varier.
Définition
Soit un groupe G, avec deux sous-groupes H et K. Pour un élément fixé g de G, la double classe de g relativement à H et K est l’ensemble . Le facteur choisi dans H agit à gauche de g, tandis que celui choisi dans K agit à droite. L’ordre des facteurs compte dès que le groupe n’est pas commutatif.
Deux éléments x et y de G appartiennent à la même double classe lorsqu’il existe un élément h de H et un élément k de K tels que y = hxk. Cette relation regroupe tous les éléments de G en sous-ensembles disjoints. Chaque élément appartient donc à une unique double classe, même si deux représentants différents peuvent nommer le même sous-ensemble.
Si K se réduit à l’élément neutre, HgK devient la classe à gauche Hg. Si H se réduit à l’élément neutre, elle devient la classe à droite gK. En général, une double classe n’est pas un sous-groupe. Ces paquets structurent notamment les décompositions de Bruhat et de Cartan, et interviennent en théorie des représentations comme en combinatoire des groupes.
Un exemple, pas à pas
Prenons le groupe S3 des six permutations de trois objets, avec une composition effectuée de droite à gauche. L’élément neutre est noté e. Les données sont :
H = {e, (12)}, le sous-groupe qui échange éventuellement 1 et 2 ;
K = {e, (23)}, le sous-groupe qui échange éventuellement 2 et 3 ;
le premier représentant est g = e.
H = {e, (12)}, le sous-groupe qui échange éventuellement 1 et 2 ;
K = {e, (23)}, le sous-groupe qui échange éventuellement 2 et 3 ;
le premier représentant est g = e.
1. Former tous les produits hek donne e, (23), (12) et (123). Ainsi, HeK = {e, (12), (23), (123)}.
2. Choisir ensuite l’élément (13), encore absent, donne H(13)K = {(13), (132)}.
3. Réunir ces deux ensembles retrouve les six éléments de S3, sans répétition entre les deux paquets.
2. Choisir ensuite l’élément (13), encore absent, donne H(13)K = {(13), (132)}.
3. Réunir ces deux ensembles retrouve les six éléments de S3, sans répétition entre les deux paquets.
Le contrôle des tailles utilise le sous-groupe obtenu en conjuguant K par le représentant : . Pour g = e, l’intersection contient seulement e, donc la taille vaut 2 × 2 ÷ 1 = 4. Pour g = (13), le sous-groupe conjugué est H, donc la taille vaut 2 × 2 ÷ 2 = 2. La partition compte bien 4 + 2 = 6 permutations.
En pratique
Pour classer des éléments soumis à des transformations autorisées à gauche et à droite, on cherche d’abord leurs doubles classes. Si un seul côté varie, les classes latérales ordinaires suffisent ; deux familles indépendantes de transformations imposent le cadre double.
Dans une décomposition de Bruhat ou de Cartan, le geste consiste à choisir des représentants, puis à décrire le groupe comme réunion de paquets HgK. Le critère décisif est que chaque élément du groupe puisse être rattaché à un paquet et à un seul.
En théorie des représentations et en combinatoire des groupes, remplacer les éléments individuels par leurs doubles classes réduit le nombre de cas à étudier. Il faut toutefois conserver les sous-groupes H et K : changer l’un d’eux change le regroupement.
À ne pas confondre
Classe latérale. Une classe latérale ne fait varier qu’un seul sous-groupe, d’un seul côté. Dans S3, H(13) contient deux éléments, tandis que la double classe H(13)K en contient aussi deux ici, mais résulte bien d’actions des deux côtés ; pour le représentant e, He contient deux éléments alors que HeK en contient quatre.
Classe de conjugaison. Elle regroupe les éléments de la forme hgh−1, où h parcourt le groupe : le même élément et son inverse encadrent g. Une double classe HgK autorise au contraire deux choix indépendants dans deux sous-groupes éventuellement différents. La forme des produits tranche immédiatement.
Limites et pièges
Des produits répétés ne donnent pas de nouveaux éléments. Dans H(13)K, quatre couples formés avec H et K ne produisent que deux permutations distinctes. Il faut construire un ensemble, éliminer les doublons, puis contrôler sa taille.
Les tailles ne sont pas nécessairement constantes. L’exemple donne un paquet de quatre éléments et un paquet de deux. Compter systématiquement |H| × |K| est donc faux lorsque plusieurs couples donnent le même produit ; la taille de l’intersection conjuguée fournit la correction.
Un représentant n’est pas le paquet. Remplacer g par un élément de HgK ne crée pas une nouvelle double classe. Il faut comparer les ensembles obtenus, ou vérifier l’existence de facteurs à gauche dans H et à droite dans K, avant d’ajouter un nouveau représentant.
Le côté des facteurs ne peut pas être inversé sans vérification. Dans un groupe non commutatif, HgK et KgH peuvent différer. Il faut conserver l’ordre annoncé des sous-groupes et la convention de composition utilisée.
Pour aller plus loin
Une double classe peut se lire comme une orbite. Pour un couple (h, k) de H × K, l’action envoie un élément x sur hxk−1. Comme les inverses parcourent encore K, l’orbite obtenue est HxK. Ce point de vue explique la partition : deux orbites sont soit identiques, soit disjointes.
Les décompositions de Bruhat et de Cartan poussent cette organisation plus loin dans les groupes de Lie. La théorie des représentations et la combinatoire exploitent ensuite les paquets ainsi obtenus plutôt que de traiter séparément tous les éléments du groupe.
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