Indice d'un sous-groupe

Imaginez les douze positions d'une horloge regroupées selon un même pas de quatre. On obtient quatre paquets : {0, 4, 8}, {1, 5, 9}, {2, 6, 10} et {3, 7, 11}. Chaque paquet est une copie décalée du premier. L'indice compte ces paquets, et non les éléments qu'ils contiennent. Ici, le sous-groupe {0, 4, 8} a donc l'indice 4 dans le groupe des entiers modulo 12.

Soit un groupe G et un sous-groupe H de G. Une classe latérale gauche de H est un ensemble de la forme gH, où g est un élément de G ; une classe latérale droite est de la forme Hg. Les classes d'un même côté partitionnent G : chacune contient autant d'éléments que H et deux classes sont soit identiques, soit disjointes. L'indice de H dans G, noté [G:H], est le nombre de ces classes. Les partitions gauche et droite ont toujours le même nombre de classes, même si leurs classes ne coïncident pas.

Lorsque G est fini, le théorème de Lagrange donne $[G:H]=\frac{\mathrm{\mid }G\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }H\mathrm{\mid }}[G:H]=\backslash frac\{|G|\}\{|H|\}$, où |G| et |H| désignent les nombres d'éléments de G et de H. L'indice est alors un entier qui mesure combien de copies de H remplissent G. Si l'indice vaut 2, les deux classes gauches sont aussi les deux classes droites ; H est donc distingué dans G.

La définition par les classes reste valable pour un groupe infini. L'indice peut alors être fini ou infini, tandis que le quotient de cardinaux n'est pas une méthode générale de calcul.

Quatre éléments structurent la notion. Le groupe G est l'ensemble à partitionner. Le sous-groupe H fournit le paquet de référence. Un élément g de G décale ce paquet en une classe gauche gH ou droite Hg. Enfin, l'ensemble de toutes les classes d'un même côté forme la partition dont on compte les parts.

Le choix de g change souvent les éléments affichés, mais deux représentants d'une même classe décrivent le même paquet. Le choix gauche ou droite peut changer les paquets eux-mêmes, jamais leur nombre. Ces données suffisent à construire les classes et à déterminer [G:H]. Dans le cas fini, connaître seulement |G| et |H| suffit aussi à calculer l'indice par Lagrange.

Prenons le groupe additif G des entiers modulo 12 et son sous-groupe H = {0, 4, 8}. Le groupe G possède 12 éléments et H en possède 3. Comme l'opération est l'addition, les classes latérales sont des translations de H. La figure matérialise la partition complète utilisée dans le calcul.

1. On part de H : 0 + H = {0, 4, 8}.
2. Le premier élément encore absent donne 1 + H = {1, 5, 9}.
3. On poursuit avec 2 + H = {2, 6, 10}, puis 3 + H = {3, 7, 11}.
4. Ces quatre classes sont disjointes et réunissent les 12 éléments de G. Il n'en reste aucun à classer.

Le résultat est donc [G:H] = 4. Le contrôle par le théorème de Lagrange retrouve $\frac{\mathrm{\mid }G\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }H\mathrm{\mid }}=\frac{12}{3}=4\backslash frac\{|G|\}\{|H|\}=\backslash frac\{12\}\{3\}=4$.

Dans un groupe fini, on calcule d'abord les ordres de G et de H. Leur quotient donne immédiatement l'indice, sans énumérer toutes les classes. L'énumération reste préférable si l'on veut connaître les éléments de chaque classe, comme dans ℤ/12ℤ.

Pour tester rapidement la normalité, un indice égal à 2 suffit : le sous-groupe est automatiquement distingué. Si l'indice est supérieur à 2, cette conclusion n'est plus automatique et il faut comparer les classes gauches et droites, ou employer un autre critère de normalité.

Dans les problèmes sur les groupes finis, l'indice traduit une divisibilité imposée par Lagrange. Il aide ainsi à éliminer une taille de sous-groupe impossible avant toute construction, puis intervient dans l'étude des sous-groupes de Sylow et de la structure du groupe.

Indice et ordre du sous-groupe. L'ordre |H| compte les éléments de H ; l'indice [G:H] compte les classes de H dans G. Dans ℤ/12ℤ, H = {0, 4, 8} a l'ordre 3 mais l'indice 4.

Ensemble des classes et groupe quotient. Les classes existent pour tout sous-groupe. Elles forment un groupe quotient G/H seulement lorsque H est distingué dans G. Le critère est donc la normalité, pas la seule existence des classes.

Classes gauches et classes droites. Elles ont toujours le même nombre, mais ne sont pas nécessairement les mêmes ensembles. Elles coïncident pour chaque élément de G précisément lorsque H est distingué.

Indice 1. Si une seule classe suffit à couvrir G, alors H = G. Chercher un sous-groupe propre dans ce cas est donc une fausse piste.

Indice 2 et au-delà. La normalité automatique est garantie au seuil exact 2. Un indice 3 ou 4 ne permet aucun verdict général ; il faut vérifier séparément la normalité.

Groupe infini. La formule |G|/|H| n'est pas un calcul ordinaire avec des entiers lorsque G est infini. Il faut revenir à la définition et compter les classes, qui peuvent être en nombre fini ou infini.

Représentants répétés. Deux éléments différents peuvent produire exactement la même classe. Pour ne pas compter deux fois, on choisit un nouveau représentant seulement parmi les éléments qui n'appartiennent à aucune classe déjà obtenue.

Le sous-groupe distingué précise le critère qui fait coïncider classes gauches et droites et explique le cas particulier de l'indice 2.

Le Groupe quotient montre comment les classes deviennent elles-mêmes les éléments d'un groupe lorsque le sous-groupe est distingué.

Les théorèmes de Sylow prolongent l'étude des ordres et des indices en imposant l'existence et le nombre de certains sous-groupes finis.