AlgèbreNotion · Glossaire
P-sylow
Un p-sous-groupe de Sylow d'un groupe fini G est un sous-groupe dont l'ordre est la plus grande puissance du nombre premier p divisant l'ordre de G. Les théorèmes de Sylow affirment l'existence de tels sous-groupes, précisent leur nombre et établissent qu'ils sont tous conjugués. Ces théorèmes sont des outils puissants pour la classification des groupes finis et pour montrer qu'un groupe d'un ordre donné n'est pas simple.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Déterminer l'ordre d'un p-Sylow à partir de la factorisation de l'ordre du groupe.
- Appliquer la divisibilité et la congruence qui contraignent le nombre de p-Sylow.
- Retrouver les 2-Sylow et le 3-Sylow du groupe S3.
- Utiliser l'unicité d'un p-Sylow pour détecter un sous-groupe normal propre.
En clair
Prenez les six permutations de trois objets. Parmi elles, certaines se regroupent par cycles dont la taille est une puissance d'un nombre premier. Pour le premier 3, on cherche un sous-groupe de trois éléments ; pour le premier 2, un sous-groupe de deux éléments.
Un sous-groupe de Sylow capte ainsi toute la puissance de p présente dans l'ordre du groupe. Les théorèmes de Sylow garantissent qu'il existe, relient entre eux tous les choix possibles et imposent de fortes contraintes sur leur nombre.
Définition
Soit G un groupe fini et p un nombre premier. On décompose l'ordre de G en isolant la plus grande puissance de p qui le divise. L'entier a est l'exposant de cette puissance et l'entier m n'est pas divisible par p :
Un sous-groupe P de G est un p-sous-groupe de Sylow lorsque son ordre vaut pa. L'adjectif « maximal » concerne ici l'ordre imposé par cette décomposition, et pas seulement l'inclusion parmi les sous-groupes.
Les théorèmes de Sylow donnent trois informations. Premièrement, G possède au moins un tel sous-groupe, et tout p-sous-groupe de G est contenu dans un p-Sylow. Deuxièmement, tous les p-Sylow sont conjugués dans G. Troisièmement, si np désigne leur nombre, alors :
Ces deux contraintes arithmétiques réduisent souvent np à très peu de possibilités.
Un p-Sylow est normal dans G exactement lorsqu'il est unique : la conjugaison ne peut alors produire aucun autre sous-groupe. S'il est en outre non trivial et différent de G, cette unicité fournit un sous-groupe normal propre et prouve que G n'est pas simple.
Un exemple, pas à pas
Considérons le groupe S3 des permutations de trois symboles. Il contient 6 éléments. On y cherche successivement les sous-groupes de Sylow associés aux nombres premiers 3 et 2.
Données. L'ordre se factorise en 6 = 2 × 3. Les deux plus grandes puissances premières qui divisent 6 sont donc 2 et 3.
1. Traiter le premier 3. Un 3-Sylow a l'ordre 3. Son nombre n3 divise 2 et vaut 1 modulo 3. La seule possibilité est n3 = 1. Il s'agit de {e, (123), (132)}.
2. Traiter le premier 2. Un 2-Sylow a l'ordre 2. Son nombre n2 divise 3 et vaut 1 modulo 2, donc n2 peut valoir 1 ou 3.
3. Dénombrer. Les transpositions (12), (13) et (23) engendrent trois sous-groupes distincts : {e, (12)}, {e, (13)} et {e, (23)}. Ainsi n2 = 3. Le schéma rassemble ces quatre sous-groupes et leurs éléments.
4. Contrôler. Le 3-Sylow apporte les deux 3-cycles non triviaux ; les trois 2-Sylow apportent chacun une transposition. Avec l'identité commune, on retrouve 1 + 2 + 3 = 6 éléments. Le 3-Sylow unique est normal et propre : S3 n'est donc pas simple.
En pratique
Pour inventorier les sous-groupes d'un groupe fini, on factorise d'abord son ordre. Les puissances premières obtenues fixent l'ordre des p-Sylow ; le théorème de Lagrange seul donne des ordres possibles, tandis que Sylow garantit ici l'existence de sous-groupes de ces ordres maximaux.
Pour rechercher un sous-groupe normal, on combine la divisibilité de np et la congruence modulo p. Si elles imposent np = 1, le p-Sylow est normal. Si plusieurs valeurs subsistent, comme pour les 2-Sylow de S3, il faut examiner la structure du groupe.
Pour écarter la simplicité d'un groupe, un p-Sylow unique est décisif seulement s'il est non trivial et propre. Dans S3, l'unique 3-Sylow a l'ordre 3, strictement compris entre 1 et 6, ce qui fournit immédiatement le sous-groupe normal recherché.
À ne pas confondre
p-sous-groupe. Son ordre est une puissance de p, sans devoir contenir toute la puissance de p présente dans l'ordre du groupe. Dans un groupe d'ordre 12, un sous-groupe d'ordre 2 est un 2-sous-groupe, mais seuls ceux d'ordre 4 peuvent être des 2-Sylow.
Sous-groupe normal. La normalité signifie que la conjugaison par tout élément de G conserve le sous-groupe. Un p-Sylow n'est pas automatiquement normal : dans S3, le 3-Sylow est unique et normal, tandis que les trois 2-Sylow sont conjugués et ne sont pas normaux.
Limites et pièges
Le groupe doit être fini. La définition par « plus grande puissance de p divisant l'ordre » et les congruences sur np supposent que |G| soit un entier fini. Pour un groupe infini, cette formulation des théorèmes de Sylow ne s'applique pas.
Le nombre p doit être premier. Une décomposition utilisant 4 ou 6 ne définit pas un « 4-Sylow » ou un « 6-Sylow ». Il faut factoriser l'ordre en puissances de nombres premiers et traiter chaque premier séparément.
Les contraintes peuvent ne pas conclure. Dans S3, les conditions donnent n2 = 1 ou 3, et non directement 3. Il faut alors compter les sous-groupes, exploiter une action ou ajouter une autre information sur G.
Un groupe d'ordre puissance de p est un cas charnière. Si |G| = pa, son unique p-Sylow est G lui-même. Cette unicité ne fournit donc aucun sous-groupe normal propre et ne suffit pas, à elle seule, à décider si G est simple.
Pour aller plus loin
La fiche sur le sous-groupe distingué précise le critère de normalité utilisé lorsqu'un p-Sylow est unique.
La notion de groupe fini simple montre pourquoi la recherche d'un p-Sylow normal intervient dans la classification des groupes finis.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres