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Suite de composition
Une suite de composition (ou suite de Jordan-Hölder) d'un groupe G est une suite de sous-groupes emboîtés G = G_0 contient G_1 contient ... contient G_n = {e} telle que chaque G_{i+1} est distingué dans G_i et que chaque quotient G_i / G_{i+1} est un groupe simple non trivial. Le théorème de Jordan-Hölder affirme que si deux suites de composition d'un même groupe existent, elles ont même longueur et les facteurs de composition (les quotients) sont les mêmes à l'ordre et à l'isomorphisme près. Ce théorème est l'analogue pour les groupes du théorème fondamental de l'arithmétique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier toutes les conditions d'une suite de composition.
- Vérifier sur S₃ que les quotients sont les groupes simples C₂ et C₃.
- Formuler exactement ce que le théorème de Jordan-Hölder rend unique.
- Distinguer facteurs, sous-groupes intermédiaires et simple suite normale.
En clair
Imaginez un groupe comme un mécanisme que l'on démonte couche après couche. À chaque étape, on conserve un sous-groupe compatible avec les opérations du groupe précédent. La couche retirée est décrite par un quotient.
La décomposition s'arrête lorsque chaque couche est simple, donc impossible à fractionner encore de la même manière. Plusieurs démontages peuvent exister, mais le théorème de Jordan-Hölder garantit le même inventaire final de couches simples, à l'ordre et à l'isomorphisme près.
Définition
Soit un groupe noté G. Une suite de composition, aussi appelée suite de Jordan-Hölder, est une chaîne finie de sous-groupes partant de G et finissant au sous-groupe réduit à l'élément neutre e : . Pour chaque indice i, le sous-groupe Gi+1 est distingué dans Gi. Le quotient Gi/Gi+1 doit être simple et non trivial. Ces quotients sont les facteurs de composition.
La simplicité signifie que le quotient ne possède aucun sous-groupe distingué autre que le sous-groupe trivial et lui-même. La condition « non trivial » interdit de répéter deux termes consécutifs. Ainsi, chaque étape est indécomposable au regard des sous-groupes distingués.
Si un groupe admet deux suites de composition, le théorème de Jordan-Hölder affirme qu'elles ont la même longueur n. Après une éventuelle permutation, leurs facteurs se correspondent deux à deux par isomorphisme. Le théorème rend donc unique la liste des types de facteurs avec leurs multiplicités, mais ni les sous-groupes intermédiaires ni l'ordre d'apparition des facteurs.
De quoi c'est fait
Une suite de composition réunit quatre éléments nécessaires. Le groupe de départ G fixe l'objet à décomposer. Les termes intermédiaires G1, …, Gn−1 forment une chaîne strictement décroissante. Le terme final {e} marque l'arrêt. Enfin, les facteurs Gi/Gi+1 enregistrent ce qui est retiré à chaque passage.
Deux dépendances structurent l'ensemble. Un quotient n'est défini comme groupe que parce que Gi+1 est distingué dans Gi. De plus, la chaîne n'est achevée que lorsque chaque quotient est simple et non trivial. Les seuls termes emboîtés ne suffisent donc pas : ce sont la normalité successive et la simplicité des quotients qui font de la chaîne une suite de composition.
Un exemple, pas à pas
Considérons le groupe symétrique S3, formé des six permutations de trois éléments. Son groupe alterné A3 contient les trois permutations paires. La chaîne étudiée est S3 ▹ A3 ▹ {e}. Le schéma matérialise ses deux étages et le facteur associé à chacun.
Données.
Ordre de S3 : 6.
Ordre de A3 : 3.
Ordre de {e} : 1.
Le sous-groupe A3 est distingué dans S3, et {e} est distingué dans A3.
Ordre de S3 : 6.
Ordre de A3 : 3.
Ordre de {e} : 1.
Le sous-groupe A3 est distingué dans S3, et {e} est distingué dans A3.
Étape 1. Le premier quotient est S3/A3. Son ordre est le quotient des ordres : 6 ÷ 3 = 2. Tout groupe d'ordre 2 est cyclique et simple ; ce facteur est donc isomorphe au groupe cyclique C2.
Étape 2. Le second quotient est A3/{e}. Son ordre vaut 3 ÷ 1 = 3. Il est isomorphe au groupe cyclique C3, lui aussi simple puisque son ordre est premier.
Résultat. Les deux quotients sont simples et non triviaux. La chaîne est donc une suite de composition de longueur 2, dont les facteurs sont C2 et C3.
Contrôle. Le produit des ordres des facteurs vaut 2 × 3 = 6, qui est bien l'ordre de S3. Ce contrôle vérifie la cohérence des deux étages sans remplacer la vérification de leur simplicité.
En pratique
Pour construire une suite de composition d'un groupe fini, on cherche un sous-groupe distingué maximal propre. On recommence dans ce sous-groupe jusqu'à atteindre {e}. La maximalité garantit que le quotient correspondant est simple.
Pour contrôler une chaîne proposée, on vérifie chaque inclusion, puis la normalité de chaque terme dans le précédent. On examine ensuite chaque quotient : un seul quotient non simple ou trivial suffit à invalider la chaîne comme suite de composition.
Pour comparer deux décompositions, on ne tente pas d'identifier terme à terme leurs sous-groupes intermédiaires. On compare plutôt les facteurs à isomorphisme près, avec leurs multiplicités. C'est précisément l'information rendue invariante par Jordan-Hölder.
À ne pas confondre
Suite normale et suite de composition. Une chaîne de sous-groupes distingués successifs est seulement une suite normale. Elle devient une suite de composition lorsque tous ses quotients sont simples et non triviaux. Ainsi, une chaîne contenant un quotient encore décomposable ne passe pas ce second test.
Facteur de composition et sous-groupe intermédiaire. Un facteur est le quotient Gi/Gi+1, pas le sous-groupe Gi lui-même. Dans l'exemple de S3, A3 est un terme de la chaîne, tandis que S3/A3, isomorphe à C2, est un facteur.
Théorème de Jordan-Hölder et réduction de Jordan. Le premier compare des chaînes de sous-groupes et leurs quotients simples. La réduction de Jordan concerne la représentation matricielle d'un endomorphisme. Le nom de Jordan est commun, mais les objets et les conclusions diffèrent.
Limites et pièges
L'existence n'est pas automatique pour un groupe infini. Le théorème de Jordan-Hölder commence par « si » deux suites existent. Par exemple, le groupe additif ℤ ne possède pas de suite de composition finie : après un quotient simple, le sous-groupe restant peut encore être isomorphe à ℤ. Il faut donc établir l'existence avant d'invoquer l'unicité des facteurs.
La normalité est successive. La condition porte sur Gi+1 dans Gi. Un terme profond n'a pas nécessairement à être distingué dans le groupe initial G. Exiger cette propriété supplémentaire écarterait à tort certaines suites de composition.
L'unicité ne porte pas sur la chaîne. Deux suites peuvent employer des sous-groupes intermédiaires différents. Jordan-Hölder garantit seulement la même longueur et les mêmes classes d'isomorphisme des facteurs, avec multiplicités, sans fixer leur ordre.
Le groupe trivial demande une convention. Pour G = {e}, la chaîne comporte zéro quotient. Certains textes acceptent cette suite vide comme suite de composition ; d'autres réservent le terme aux groupes non triviaux. Il faut annoncer la convention au lieu de fabriquer un quotient trivial, interdit par la définition.
Pour aller plus loin
Le glossaire sous-groupe distingué précise la condition qui rend chaque quotient de la chaîne bien défini.
La fiche groupe fini simple développe la nature des briques qui apparaissent comme facteurs de composition dans le cadre fini.
L'article La classification des groupes finis simples ouvre sur l'inventaire des briques simples possibles pour les groupes finis.
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