Feit-Thompson (théorème de)

Imaginez un ensemble fini de mouvements que l'on peut enchaîner et annuler. Ces mouvements forment un groupe. Son ordre est simplement le nombre de mouvements disponibles : 3, 9 ou 21 sont des ordres impairs.

Le théorème de Feit-Thompson garantit qu'un tel groupe d'ordre impair peut être démonté en couches dont les quotients sont commutatifs. C'est le sens de « résoluble ». Le groupe entier n'a pourtant pas besoin d'être commutatif : celui de 21 éléments étudié dans l'exemple ne l'est pas.

Un groupe fini est un groupe possédant un nombre fini d'éléments. Son ordre est ce nombre. Dire que l'ordre est impair signifie qu'il n'est pas divisible par 2. Le théorème de Feit-Thompson porte sur tous les groupes finis satisfaisant cette seule condition, qu'ils soient commutatifs ou non.

Pour définir la résolubilité, on part d'un groupe noté G. Son sous-groupe dérivé, noté [G,G], est engendré par les commutateurs ; il mesure le défaut de commutativité. On répète ensuite l'opération. Pour tout entier n positif ou nul, la série dérivée est définie par : Le groupe G est résoluble lorsqu'un terme de cette suite est réduit à l'élément neutre. De manière équivalente, il possède une suite finie de sous-groupes normaux dont les quotients successifs sont abéliens.

Le résultat publié en 1963 par Walter Feit et John Thompson affirme précisément que l'impair suffit à imposer cette résolubilité. Sa démonstration occupe 255 pages. D'après la source, ce jalon a ouvert la voie à la classification des groupes finis simples, achevée dans les années 1980.

Soit G un groupe. Si G possède un nombre fini et impair d'éléments, alors G est résoluble. Autrement dit, la série dérivée obtenue en remplaçant successivement chaque groupe par son sous-groupe de commutateurs atteint, après un nombre fini d'étapes, le sous-groupe réduit à l'élément neutre.

Le domaine est celui des groupes. Deux vérifications suffisent pour invoquer le théorème : le groupe doit avoir un nombre fini d'éléments, et ce nombre doit être impair. La conclusion obtenue est la résolubilité ; elle n'affirme ni que le groupe est commutatif, ni qu'il est simple.

Un ordre pair bloque l'application du théorème, mais ne décide pas à lui seul de la résolubilité. Le groupe cyclique à deux éléments, d'ordre 2, est abélien et donc résoluble. À l'inverse, le groupe alterné A₅, d'ordre 60, est simple non abélien et n'est pas résoluble. Pour un ordre pair, il faut donc étudier directement la série dérivée ou utiliser un autre critère.

Prenons le produit semi-direct G du groupe cyclique à 7 éléments par celui à 3 éléments. Un générateur b conjugue un générateur a en a². La chaîne de sous-groupes matérialise la série dérivée.

Données.
a⁷ = e, b³ = e et bab⁻¹ = a².
Chaque élément s'écrit de façon unique sous la forme aⁱb^j, avec 0 ≤ i ≤ 6 et 0 ≤ j ≤ 2.

Étape 1. Les 7 choix de i et les 3 choix de j donnent 7 × 3 = 21 éléments. L'ordre est impair.

Étape 2. Avec [b,a] = bab⁻¹a⁻¹, la relation donne [b,a] = a : le sous-groupe dérivé contient ⟨a⟩. Le quotient G/⟨a⟩ est cyclique donc abélien. Le sous-groupe dérivé est ainsi ⟨a⟩, d'ordre 7.

Étape 3. Le groupe ⟨a⟩ est cyclique donc abélien ; son sous-groupe dérivé est {e}. La série complète est :

Résultat. Deux dérivations atteignent {e} : G est résoluble mais non abélien, car bab⁻¹ = a² diffère de a.

Contrôle. Les quotients G/⟨a⟩ et ⟨a⟩/{e} sont cycliques d'ordres 3 et 7. Tous deux sont abéliens, ce qui confirme la résolubilité.

Lorsqu'un groupe fini est présenté par sa table ou par une construction connue, on commence par déterminer son ordre. S'il est impair, le théorème donne immédiatement la résolubilité, sans calculer toute la série dérivée.

Pour un groupe d'ordre pair, ce raccourci disparaît. On revient alors au calcul des sous-groupes dérivés, ou à des critères structurels adaptés au groupe étudié. L'ordre pair n'est jamais, à lui seul, un verdict de non-résolubilité.

Dans l'étude des groupes finis simples, le théorème élimine tout candidat non abélien d'ordre impair : un tel candidat serait résoluble. Cette réduction explique le rôle du résultat dans le programme de classification évoqué par la source.

Résoluble et abélien. Tout groupe abélien est résoluble, mais la réciproque est fausse. Le groupe G d'ordre 21 de l'exemple est non abélien, alors que sa série dérivée s'arrête à {e}.

Résoluble et simple. La résolubilité décrit une décomposition en couches abéliennes ; la simplicité interdit les sous-groupes normaux propres non triviaux. Un groupe cyclique d'ordre premier possède les deux propriétés, tandis qu'un groupe simple non abélien n'est pas résoluble.

Feit-Thompson et classification complète. Le théorème traite l'ordre impair. La classification des groupes finis simples est un programme beaucoup plus vaste, auquel ce résultat fournit une étape cruciale sans constituer à lui seul toute la classification.

La réciproque est fausse. Un groupe résoluble peut avoir un ordre pair. Le groupe cyclique à deux éléments en est le cas charnière le plus petit : son ordre vaut 2 et il est abélien. Il ne faut donc pas déduire « ordre impair » de « résoluble ».

La finitude est indispensable. Pour un groupe infini, l'expression « ordre impair » n'a pas le sens arithmétique employé par le théorème. Il faut vérifier la finitude avant toute invocation du résultat.

La conclusion n'est pas une borne sur la longueur. Le théorème garantit qu'une série dérivée finit par atteindre {e}, mais l'énoncé ne fixe pas un nombre universel d'étapes. Dans l'exemple d'ordre 21, deux dérivations suffisent ; ce nombre ne doit pas être généralisé.

Une preuve courte sur un exemple ne remplace pas la preuve générale. Pour le groupe d'ordre 21, la série dérivée se calcule directement. Le travail de Feit et Thompson consiste à établir la conclusion pour tous les groupes finis d'ordre impair, sans supposer une présentation aussi favorable.

La fiche groupe fini simple précise la notion de simplicité qui rend le théorème décisif : à ordre impair, un groupe simple fini ne peut pas être non abélien.

L'article La classification des groupes finis simples replace le résultat de Feit-Thompson dans le programme plus large auquel la source le relie.