Thompson John Griggs

En 1963, John Griggs Thompson et Walter Feit établissent un résultat spectaculaire sur les groupes finis. Un groupe décrit des symétries que l’on peut composer ; son ordre est simplement le nombre de symétries qu’il contient. Leur théorème dit que, si ce nombre est impair, la structure peut être décomposée par étapes en morceaux plus simples : elle est résoluble. Techniquement, cette simplification correspond à une chaîne de sous-groupes de commutateurs qui finit par atteindre le seul élément neutre.

Cette avancée est le repère le plus célèbre du travail de Thompson. Ses recherches touchent aussi le problème inverse de Galois, qui relie des groupes à des équations algébriques.

John Griggs Thompson est un mathématicien américain né en 1932, spécialiste de la théorie des groupes finis. Un groupe fini est un ensemble comportant un nombre fini d’éléments, muni d’une opération qui permet de les composer tout en respectant les règles d’un groupe. Son ordre est le nombre de ses éléments.

Avec Walter Feit, Thompson démontre la conjecture de Burnside. Ce résultat de 1963, désormais connu sous le nom de théorème de Feit-Thompson, affirme que tout groupe fini d’ordre impair est résoluble. Ici, « résoluble » a un sens technique : en formant successivement les sous-groupes engendrés par les commutateurs, qui mesurent le défaut de commutativité, on finit par atteindre le seul élément neutre. Le théorème donne donc une contrainte structurelle à partir de la seule parité de l’ordre ; il ne prétend pas dresser la liste de tous ces groupes.

Thompson apporte également une contribution décisive au problème inverse de Galois. La médaille Fields, le prix Wolf et le prix Abel distinguent l’importance et l’étendue de ses travaux en algèbre.

Prenons les rotations qui laissent un triangle équilatéral à la même place. Les données sont :
• la rotation neutre de 0°, notée e ;
• une rotation de 120°, notée r ;
• une rotation de 240°, notée r².

Étape 1. Ces trois rotations forment le groupe noté C₃. Son ordre vaut 3, donc il est impair. Le théorème de Feit-Thompson annonce que C₃ est résoluble.

Étape 2. Composer deux rotations revient à additionner leurs angles, en retirant un tour complet si nécessaire. L’ordre de l’addition ne change pas le résultat : C₃ est commutatif. Son sous-groupe des commutateurs se réduit donc à l’élément neutre.

Étape 3. La chaîne atteint {e} en une étape : C₃ est bien résoluble. Pour contrôler le calcul, on compose 120° et 240° dans les deux sens : la somme vaut 360°, soit la rotation neutre de 0°. Cet exemple vérifie le verdict dans un cas minuscule ; il ne remplace pas la démonstration générale de Feit et Thompson.

Devant un groupe fini, on commence par compter ses éléments. Si l’ordre est impair, le théorème de Feit-Thompson permet de conclure immédiatement que le groupe est résoluble. Si l’ordre est pair, ce théorème ne tranche pas et il faut étudier la structure du groupe par d’autres moyens.

Dans un texte d’histoire des mathématiques, le nom de Thompson sert aussi de repère entre plusieurs contributions. La mention de 1963 renvoie précisément au théorème démontré avec Walter Feit ; la mention du problème inverse de Galois désigne un autre axe de ses travaux.

Pour poursuivre l’étude des groupes finis, on peut passer du critère d’ordre impair aux groupes simples, qui jouent un rôle différent dans l’analyse des structures finies.

John Griggs Thompson et le théorème de Feit-Thompson. Le premier est le mathématicien ; le second est un résultat démontré avec Walter Feit. Un texte qui parle de la médaille Fields, du prix Wolf ou du prix Abel désigne la personne. Un énoncé reliant ordre impair et résolubilité désigne le théorème.

Résoluble et commutatif. Un groupe commutatif est résoluble, mais « résoluble » n’est pas un autre mot pour « commutatif ». Le critère à tester est la chaîne des sous-groupes de commutateurs : elle doit atteindre l’élément neutre, éventuellement après plusieurs étapes.

L’ordre impair est une condition suffisante, pas une définition. Le théorème garantit la résolubilité pour tout groupe fini d’ordre impair. Un ordre pair ne permet pas de conclure à la non-résolubilité : le groupe formé par l’identité et une symétrie, d’ordre 2, est commutatif et donc résoluble.

Le théorème ne classe pas les groupes concernés. Connaître l’imparité de l’ordre donne une propriété structurelle, mais ni une liste des groupes possibles ni leur table de composition. Il faut conserver cette distinction lorsqu’on applique le résultat.

Une contribution n’est pas une résolution totale. La source attribue à Thompson une contribution décisive au problème inverse de Galois. Elle ne dit pas qu’il en a fourni à lui seul une solution générale ; il faut donc garder cette formulation mesurée.

Feit-Thompson (théorème de) présente directement le résultat central associé à Thompson : l’ordre impair d’un groupe fini entraîne sa résolubilité.

La classification des groupes finis simples ouvre sur un autre grand repère de la théorie des groupes finis et précise le rôle des structures simples.

Le portrait de Galois Evariste replace le nom de Galois dans l’histoire de l’algèbre, en complément de la mention du problème inverse de Galois.