AnalyseObjet mathématique · Glossaire
Centrale descendante (suite)
La suite centrale descendante d'un groupe G est la suite de sous-groupes G = G0 contient G1 contient G2 ... définie par , où [G, Gn] désigne le sous-groupe des commutateurs de G avec Gn. Un groupe est dit nilpotent si sa suite centrale descendante devient triviale en un nombre fini d'étapes, c'est-à-dire si Gn = {e} pour un certain n. La classe de nilpotence du groupe est le plus petit n pour lequel Gn est trivial. Les groupes abéliens sont nilpotents de classe 1.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire les termes successifs à partir des commutateurs.
- Déterminer la classe de nilpotence au premier terme trivial.
- Vérifier le mécanisme sur un groupe de matrices de classe 2.
- Distinguer la suite centrale descendante de la suite dérivée.
En clair
Imaginez un groupe comme un ensemble de transformations que l'on peut enchaîner. On compare deux ordres d'exécution : leur commutateur mesure ce qui subsiste lorsque ces ordres ne donnent pas le même résultat.
La suite centrale descendante recommence cette comparaison avec les écarts déjà obtenus. Si, après un nombre fini d'étapes, il ne reste que l'élément neutre, le groupe est nilpotent. Plus l'arrêt arrive tôt, plus la non-commutativité est rapidement épuisée.
Définition
Soit G un groupe, d'élément neutre e. On pose G0 = G. Pour chaque entier n positif ou nul, le terme suivant est engendré par tous les commutateurs formés avec un élément de G et un élément de Gn. Si x appartient à G et y à Gn, leur commutateur est . La convention inverse existe ; elle engendre les mêmes sous-groupes et ne change donc pas la suite.
La récurrence complète s'écrit . Chaque terme est normal dans G et contenu dans le précédent : la suite descend de G vers des sous-groupes qui concentrent une non-commutativité de plus en plus profonde. Le crochet désigne ici un sous-groupe engendré par des commutateurs, et non un unique commutateur.
Le groupe G est nilpotent lorsqu'un terme Gn se réduit à {e}. Avec l'indexation commençant à G0, sa classe de nilpotence est le plus petit tel entier n. Ainsi, un groupe abélien non trivial vérifie G1 = {e} et a la classe 1.
De quoi c'est fait
La construction repose sur quatre éléments. Le groupe G fournit les éléments que l'on compare. Le terme initial G0 fixe le départ. Le sous-groupe [G, Gn] rassemble, par génération, tous les commutateurs entre G et le terme courant. Enfin, l'élément neutre e sert de point d'arrêt.
Le choix de Gn détermine donc Gn+1, tandis que la présence de tout G dans le premier argument teste le terme courant contre le groupe entier. Ces données construisent la suite terme après terme et suffisent à décider si elle atteint {e}, puis à lire la classe au premier indice où cela arrive.
Un exemple, pas à pas
Considérons le groupe H des matrices triangulaires supérieures 3 × 3 à coefficients entiers, avec des 1 sur la diagonale. Un élément est repéré par trois entiers a, b et c.
1. Prenons deux éléments h(a, b, c) et h(a′, b′, c′).
2. Leur commutateur vaut .
3. Quand les entiers varient, les valeurs ab′ − a′b parcourent tous les entiers. Ainsi, H1 est exactement l'ensemble des matrices h(0, 0, c).
4. Ces matrices commutent avec tout élément de H. Par conséquent, H2 = [H, H1] = {e}.
2. Leur commutateur vaut .
3. Quand les entiers varient, les valeurs ab′ − a′b parcourent tous les entiers. Ainsi, H1 est exactement l'ensemble des matrices h(0, 0, c).
4. Ces matrices commutent avec tout élément de H. Par conséquent, H2 = [H, H1] = {e}.
Le premier terme trivial est H2 : H est donc nilpotent de classe 2. Pour contrôler le calcul, choisissez a = 1, b = 0, a′ = 0 et b′ = c ; le commutateur obtenu est h(0, 0, c), quel que soit l'entier c. Le schéma résume les deux descentes successives.
En pratique
Pour tester la nilpotence d'un groupe donné par des générateurs, on calcule d'abord son sous-groupe dérivé [G, G]. On poursuit avec [G, G1] jusqu'à obtenir {e}. Si un terme non trivial se répète, la descente ne pourra plus s'annuler.
Pour comparer deux groupes nilpotents, la classe indique le nombre d'étages nécessaires. La suite centrale descendante est préférable à la suite dérivée lorsque la question porte sur la nilpotence, car chaque étape conserve G dans le premier argument du commutateur.
Dans un groupe abélien, le test s'arrête immédiatement après G : tous les commutateurs valent e. Dans le groupe matriciel H de l'exemple, un étage central non trivial subsiste avant l'arrêt, ce qui révèle une non-commutativité contrôlée.
À ne pas confondre
Suite dérivée. Elle remplace à chaque étape les deux arguments par le terme courant : Dn+1 = [Dn, Dn]. La suite centrale descendante garde au contraire G dans le premier argument. Un groupe peut donc être résoluble parce que sa suite dérivée s'arrête, sans être nilpotent.
Suite centrale ascendante. Elle part du sous-groupe trivial et agrandit progressivement des sous-groupes centraux. La suite centrale descendante part de G et le rétrécit par commutateurs. Pour trancher, il suffit donc de regarder le point de départ et le sens des inclusions.
Limites et pièges
Indice décalé. Certains auteurs notent γ1(G) = G au lieu de G0 = G. Le même groupe abélien a alors γ2(G) = {e}, mais reste de classe 1. Il faut comparer la définition des indices, pas seulement le numéro du terme trivial.
Stationnement non trivial. Une suite descendante ne prouve pas à elle seule la nilpotence. Si un terme non trivial vérifie Gn+1 = Gn, tous les termes suivants lui sont égaux ; il faut alors conclure que la suite n'atteint pas {e}.
Groupe trivial. Avec la convention de la source, G0 = {e} dès le départ : sa classe est 0. L'affirmation « les groupes abéliens sont de classe 1 » concerne donc les groupes abéliens non triviaux, sauf convention qui exclut la classe 0.
Pour aller plus loin
Le Commutateur détaille l'opération dont les sous-groupes successifs sont engendrés.
Le P-groupe ouvre un cadre important où étudier la nilpotence des groupes finis.
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