AlgèbreNotion · Glossaire
Commutateur
Le commutateur de deux éléments a et b d'un groupe est l'élément [a, b] = a^{-1} b^{-1} a b. Deux éléments commutent si et seulement si leur commutateur est l'élément neutre. Le sous-groupe des commutateurs, engendré par tous les commutateurs du groupe, est appelé le sous-groupe dérivé ou groupe de commutateurs. Un groupe est abélien si et seulement si son sous-groupe dérivé est trivial. En algèbre des matrices, le commutateur de deux matrices A et B est AB - BA.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier ce que mesure le commutateur de deux éléments d’un groupe.
- Refaire un calcul complet avec deux permutations de trois éléments.
- Relier les commutateurs au sous-groupe dérivé et au caractère abélien.
- Distinguer la formule de groupe du commutateur matriciel AB − BA.
En clair
Prenons trois cartes numérotées 1, 2 et 3. Une première manipulation les permute, puis une seconde intervient. Si inverser l’ordre des deux manipulations ne donne pas le même rangement, elles ne commutent pas.
Le commutateur transforme cette différence d’ordre en un élément du groupe. Il combine chaque manipulation avec son inverse : lorsque le résultat est l’élément neutre, qui ne change rien, les deux manipulations commutent. Sinon, le résultat décrit précisément leur défaut de commutation.
Définition
Dans un groupe, soient a et b deux éléments. Leur commutateur, avec la convention retenue ici, est l’élément . Les symboles et désignent les inverses de a et de b. Le produit est lu selon la loi du groupe.
Les éléments a et b commutent exactement lorsque . Cette condition équivaut à , où e est l’élément neutre. Le sous-groupe engendré par tous les commutateurs du groupe est le sous-groupe dérivé, aussi appelé groupe de commutateurs. Le groupe entier est abélien exactement lorsque ce sous-groupe est réduit à l’élément neutre.
Une autre convention fréquente définit le commutateur par . Avec la convention de cette fiche, cette expression est le commutateur de et ; il faut donc vérifier la définition employée avant de comparer deux calculs. Pour deux matrices carrées A et B de même taille, le mot commutateur désigne plutôt la différence .
Un exemple, pas à pas
Considérons les permutations des nombres 1, 2 et 3. La permutation a envoie 1 sur 2, 2 sur 3 et 3 sur 1 ; la permutation b échange 1 et 2. Les produits agissent de droite à gauche. Nous cherchons le commutateur défini par .
1. Comme b est un échange, son inverse est b.
2. L’inverse de a envoie 1 sur 3, 3 sur 2 et 2 sur 1.
3. En appliquant successivement b, a, b, puis a−1, on obtient 1 → 2, 2 → 3 et 3 → 1.
4. Le commutateur vaut donc la permutation a et n’est pas l’élément neutre.
2. L’inverse de a envoie 1 sur 3, 3 sur 2 et 2 sur 1.
3. En appliquant successivement b, a, b, puis a−1, on obtient 1 → 2, 2 → 3 et 3 → 1.
4. Le commutateur vaut donc la permutation a et n’est pas l’élément neutre.
Le trajet des trois nombres rend ce calcul contrôlable étape par étape. Pour vérifier le verdict indépendamment, on peut aussi comparer les produits : ab envoie 1 sur 3, tandis que ba envoie 1 sur 1. Puisque ces images diffèrent, a et b ne commutent pas.
En pratique
Dans un groupe de permutations, le commutateur teste si deux réarrangements peuvent être intervertis. On calcule leurs deux ordres d’exécution ; si les résultats diffèrent, le commutateur enregistre ce défaut. Pour un simple test oui ou non, comparer directement ab et ba est souvent plus court.
Pour étudier le groupe entier, on rassemble les commutateurs au lieu d’examiner seulement une paire. Le sous-groupe qu’ils engendrent indique si le groupe est abélien : il doit alors ne contenir que l’élément neutre.
Avec des matrices carrées de même taille, on calcule AB − BA. La matrice nulle signale que les deux matrices commutent. Cette soustraction est la forme adaptée à l’algèbre des matrices ; la formule multiplicative avec des inverses appartient au cadre des groupes.
À ne pas confondre
Commutateur d’éléments et sous-groupe dérivé. Le premier dépend d’une paire a, b et produit un élément. Le second est un sous-groupe engendré par tous les commutateurs. Dans l’exemple des trois cartes, le calcul d’une seule paire fournit une permutation, pas à lui seul tout le sous-groupe dérivé.
Commutateur dans un groupe et commutateur de matrices. Dans un groupe, la formule emploie les inverses et reste interne à la loi multiplicative. Pour des matrices carrées de même taille, on emploie AB − BA. Si une matrice n’est pas inversible, la seconde expression reste définie alors que la formule de groupe multiplicative ne s’applique pas à cette matrice.
Limites et pièges
Convention inversée. Deux textes peuvent placer les inverses différemment dans la définition. Le symptôme est un résultat inversé ou réordonné malgré des calculs cohérents. Il faut recopier la convention du texte avant toute comparaison ; cette fiche utilise .
Ordre de composition. Pour les permutations, une lecture de gauche à droite à la place de la convention annoncée change les images calculées. Il faut fixer le sens d’action avant la première étape. Dans l’exemple, le facteur le plus à droite agit d’abord.
Un commutateur neutre ne suffit pas pour tout le groupe. Il prouve seulement que la paire choisie commute. Pour conclure que le groupe est abélien, tous les couples doivent commuter, ce qui équivaut à un sous-groupe dérivé trivial.
Matrices de tailles incompatibles. L’écriture AB − BA exige que les deux produits existent et aient la même taille ; pour deux matrices carrées, cela impose la même taille. Sinon, il ne faut pas parler de leur commutateur matriciel sous cette forme.
Pour aller plus loin
Les débuts des groupes — Pour replacer la loi de composition et la commutativité dans l’émergence de la théorie des groupes.
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