AlgèbreNotion · Glossaire
Centralisateur
Le centralisateur d'un élément a dans un groupe G est l'ensemble de tous les éléments de G qui commutent avec a, c'est-à-dire l'ensemble des x tels que xa = ax. C'est un sous-groupe de G. Plus généralement, le centralisateur d'une partie S de G est l'ensemble des éléments qui commutent avec chaque élément de S. Cette notion est fondamentale en théorie des groupes pour étudier la structure interne des groupes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les éléments qui commutent avec un élément fixé.
- Calculer le centralisateur de (12) dans S3.
- Relier la taille d’un centralisateur à celle d’une classe de conjugaison.
- Distinguer centralisateur, centre, normalisateur et commutateur.
En clair
Imaginez les six façons de permuter trois objets. Fixons l’échange des objets 1 et 2. Certaines permutations peuvent être effectuées avant ou après cet échange sans changer le résultat final. Le centralisateur rassemble précisément ces permutations compatibles avec l’échange choisi.
Dans cet exemple, seules l’action qui ne change rien et l’échange (12) lui-même conviennent. L’ordre des deux opérations importe avec chacune des quatre autres permutations.
Définition
Soit un groupe G, dont la loi est notée par juxtaposition, et soit un élément a de G. Le centralisateur de a dans G est le sous-ensemble noté formé des éléments x de G qui vérifient xa = ax :
Ce sous-ensemble est un sous-groupe. En effet, l’élément neutre commute avec a ; le produit de deux éléments qui commutent avec a commute encore avec a ; et l’inverse d’un tel élément possède la même propriété.
Pour une partie S de G, son centralisateur réunit les éléments qui commutent avec chacun des éléments de S. Il est donc l’intersection des centralisateurs individuels :
Si G est abélien, tous ses éléments commutent et chaque centralisateur est G tout entier.
Un exemple, pas à pas
Considérons le groupe S3 des permutations de trois objets et la transposition a = (12). Les six éléments à tester sont e, (12), (13), (23), (123) et (132). Les produits sont composés de droite à gauche.
1. L’élément neutre e commute avec a.
2. La transposition (12) commute avec elle-même.
3. Pour (13), on obtient (13)(12) = (123), tandis que (12)(13) = (132) : les produits diffèrent.
4. Les mêmes tests écartent (23), (123) et (132).
2. La transposition (12) commute avec elle-même.
3. Pour (13), on obtient (13)(12) = (123), tandis que (12)(13) = (132) : les produits diffèrent.
4. Les mêmes tests écartent (23), (123) et (132).
Le résultat est donc . Le schéma récapitule les six tests. Pour contrôler le calcul, on vérifie que les deux éléments retenus forment bien un sous-groupe de S3.
En pratique
Pour déterminer les symétries qui restent compatibles avec un élément donné, on résout l’égalité xa = ax dans le groupe considéré. Si l’on cherche plutôt les éléments compatibles avec tout le groupe, on calcule son centre.
Dans un groupe fini, la taille de la classe de conjugaison de a est l’indice de son centralisateur. Si l’on note Cl(a) cette classe, alors . Dans S3, le centralisateur de (12) a 2 éléments ; son indice vaut 6 ÷ 2 = 3, comme le nombre de transpositions.
Pour vérifier seulement si deux éléments précis commutent, comparer leurs deux produits suffit. Le calcul du centralisateur devient utile lorsque l’on veut recenser tous les éléments qui satisfont ce test.
À ne pas confondre
Le centre d’un groupe. Le centre rassemble les éléments qui commutent avec tous les éléments de G ; le centralisateur est relatif à un élément ou à une partie fixée. Dans S3, le centre est réduit à e, alors que le centralisateur de (12) contient e et (12).
Le normalisateur d’un sous-groupe. Un élément x normalise un sous-groupe H lorsqu’il vérifie xHx−1 = H. Il peut donc permuter les éléments de H sans commuter avec chacun d’eux. Le centralisateur exige au contraire l’égalité xh = hx pour tout élément h de H.
Un commutateur. Le commutateur de x et a est un élément du groupe ; il vaut l’élément neutre exactement lorsque x et a commutent. Le centralisateur est l’ensemble de tous les x qui rendent ce commutateur neutre.
Limites et pièges
Le centralisateur n’est pas nécessairement normal dans G. Dans S3, le sous-groupe {e, (12)} est le centralisateur de (12), mais la conjugaison par (123) transforme (12) en une autre transposition. Il faut vérifier la stabilité par conjugaison avant d’affirmer qu’un centralisateur est normal.
Ses éléments ne commutent pas forcément entre eux. Si S ne contient que l’élément neutre, alors son centralisateur est G. Lorsque G n’est pas abélien, ce centralisateur n’est donc pas abélien non plus. Il faut tester les paires internes séparément.
La partie vide donne un cas extrême. Tout élément commute avec chacun des éléments de l’ensemble vide, puisqu’il n’y en a aucun à tester. Avec la définition usuelle, on obtient donc .
Pour aller plus loin
Le commutateur transforme le test xa = ax en un élément dont la neutralité mesure exactement la commutation.
L’Automorphisme intérieur replace le centralisateur dans l’action par conjugaison : le centralisateur de a est le stabilisateur de a.
L’article Les débuts des groupes donne un contexte historique à la théorie dans laquelle centralisateurs et conjugaison prennent place.
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