AlgèbreNotion · Glossaire
Normalisateur
Le normalisateur d'un sous-groupe H dans un groupe G est le plus grand sous-groupe de G dans lequel H est normal. Il est défini par N_G(H) = {g dans G : gHg^{-1} = H}. Le sous-groupe H est normal dans G si et seulement si N_G(H) = G. Le normalisateur est toujours un sous-groupe de G contenant H. Dans le cas des algèbres de Lie, le normalisateur d'une sous-algèbre est la sous-algèbre normalisante, définie de façon analogue.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir N_G(H) par la conjugaison et interpréter son caractère maximal.
- Calculer entièrement le normalisateur de {e, (12)} dans S₃.
- Relier l’égalité N_G(H) = G à la normalité de H.
- Distinguer le normalisateur du centralisateur et de la clôture normale.
- Identifier l’analogue fondé sur le crochet dans une algèbre de Lie.
En clair
Imaginez un groupe de transformations et, à l’intérieur, une petite collection H. Une transformation g peut déplacer les éléments de H par conjugaison. Si, après ce déplacement, on retrouve exactement la même collection H, alors g préserve H dans son ensemble.
Le normalisateur rassemble toutes les transformations qui réussissent ce test. Il contient toujours H lui-même. Plus il est grand, plus H est stable sous les symétries du groupe ambiant ; s’il remplit tout le groupe G, H est un sous-groupe normal de G.
Définition
Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. Conjuguer H par un élément g de G consiste à former l’ensemble gHg−1, composé des éléments ghg−1 lorsque h parcourt H. Le normalisateur de H dans G est l’ensemble des éléments g qui laissent H inchangé comme ensemble : .
Cet ensemble, noté NG(H), est un sous-groupe de G et contient H. C’est le plus grand sous-groupe de G dans lequel H est normal. Le critère de normalité devient donc . Le mot « plus grand » désigne ici l’inclusion : tout sous-groupe K de G dans lequel H est normal est contenu dans NG(H).
Dans une algèbre de Lie, on remplace la conjugaison par le crochet. Pour une sous-algèbre 𝔥 d’une algèbre 𝔤, la sous-algèbre normalisante rassemble les éléments x de 𝔤 tels que le crochet [x, h] appartienne à 𝔥 pour tout élément h de 𝔥.
Un exemple, pas à pas
Prenons le groupe S3 des six permutations de trois objets et le sous-groupe H = {e, (12)}. La lettre e désigne la permutation qui ne change rien, et (12) échange les objets 1 et 2. Les données à examiner sont les six éléments e, (12), (13), (23), (123) et (132).
1. Pour chaque permutation g, il suffit de conjuguer (12), car e reste e. La règle est .
2. Avec g = e ou g = (12), le transposé obtenu est encore (12). Ces deux permutations vérifient donc gHg−1 = H.
3. Avec g = (13) ou g = (123), le transposé obtenu est (23). Avec g = (23) ou g = (132), il est (13). Dans ces quatre cas, l’ensemble conjugué diffère de H.
4. On conclut que NS₃(H) = {e, (12)} = H. Le contrôle consiste à vérifier que les deux éléments retenus donnent H, tandis que chacun des quatre éléments exclus donne un autre sous-groupe à deux éléments.
Le schéma récapitule les six tests de conjugaison et fait apparaître les deux éléments qui préservent exactement H.
En pratique
Pour décider si H est normal dans G, on peut tester les conjugaisons par des éléments qui engendrent G. Si chacune conserve H, alors le normalisateur est G ; si un seul test produit un autre sous-groupe, H n’est pas normal.
Pour repérer les symétries de G qui agissent sur H sans le faire sortir de lui-même, on calcule NG(H). Le centralisateur convient plutôt si l’on exige que chaque élément de H soit fixé individuellement par conjugaison.
Dans un calcul fini, on conjugue des générateurs de H plutôt que tous ses éléments, puis on vérifie que leurs images engendrent encore H. Cette méthode réduit le nombre de tests sans changer le critère.
À ne pas confondre
Normalisateur et centralisateur. Le normalisateur exige gHg−1 = H : les éléments de H peuvent être permutés entre eux. Le centralisateur exige ghg−1 = h pour chaque h de H. Dans S3, le sous-groupe engendré par le cycle (123) est normalisé par toute permutation, mais les transpositions ne centralisent pas (123).
Normalisateur et clôture normale. Le normalisateur est un sous-groupe du groupe ambiant : il sélectionne les éléments qui préservent H. La clôture normale est au contraire un sous-groupe contenant H : elle ajoute tous les conjugués nécessaires pour devenir normale. Si H est déjà normal dans G, son normalisateur est G tandis que sa clôture normale reste H.
Limites et pièges
Préserver l’ensemble ne signifie pas fixer chaque élément. Le symptôme du piège est de rejeter un élément g parce qu’il transforme un élément h de H en un autre élément de H. Il faut comparer l’ensemble conjugué gHg−1 à H, et non chaque élément terme à terme.
Les cas extrêmes sont légitimes. Si H est le sous-groupe réduit à l’identité, si H = G, ou plus généralement si H est normal dans G, alors NG(H) = G. Un normalisateur égal au groupe ambiant n’apporte donc pas, à lui seul, d’information sur la taille de H.
Le groupe ambiant compte. Un même sous-groupe H peut avoir des normalisateurs différents lorsqu’on le considère dans deux groupes ambiants distincts. Il faut toujours conserver l’indice G dans NG(H) dès que le contexte pourrait être ambigu.
L’analogue de Lie change d’opération. Dans une algèbre de Lie, on ne cherche pas un produit gHg−1. Il faut employer le crochet et vérifier que [x, h] reste dans la sous-algèbre pour tout h ; reprendre littéralement le test des groupes serait un changement de cadre incorrect.
Pour aller plus loin
Les débuts des groupes replace la notion de groupe dans l’histoire des symétries et éclaire le cadre où agit la conjugaison.
algèbre de Lie présente la structure dans laquelle le crochet remplace la conjugaison pour définir la sous-algèbre normalisante.
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