Yang-Mills (théorie de)

Imaginez deux réglages appliqués à un champ, d'abord l'un puis l'autre. En électromagnétisme classique, l'ordre de ces transformations de jauge ne change pas le résultat. Dans une théorie de Yang-Mills, il peut le changer : les transformations sont dites non abéliennes.

Cette différence oblige le champ de jauge à interagir avec lui-même. Les groupes SU(2) et SU(3) fournissent deux exemples de symétries non abéliennes. Après quantification, les excitations de ces champs correspondent à des particules de spin 1.

Une théorie de Yang-Mills est une théorie de jauge fondée sur un groupe de Lie, qui peut être abélien ou non abélien ; SU(2) et SU(3) sont des exemples non abéliens. Le champ de jauge est décrit par un potentiel, noté A_μ, qui prend ses valeurs dans l'algèbre de Lie du groupe. Les indices μ et ν désignent des directions de l'espace-temps. La courbure, ou intensité du champ, est notée F_μν. Si g désigne le couplage et si les crochets désignent le commutateur, elle vaut :

Le dernier terme est décisif. Il disparaît lorsque le groupe est abélien, ce qui ramène à la structure de l'électromagnétisme classique. Pour un groupe non abélien, il rend les équations non linéaires et traduit l'auto-interaction du champ. La fonctionnelle de Yang-Mills associe une action à la courbure. L'indice a repère une direction de l'algèbre de Lie ; tous les indices répétés sont sommés. Dans une convention euclidienne, sur un domaine Ω muni d'une mesure d⁴x, elle peut s'écrire : Le facteur et le signe dépendent des conventions et de la signature choisies.

Les points stationnaires de cette fonctionnelle satisfont les équations d'Euler-Lagrange de Yang-Mills. En l'absence de source, si D_μ désigne la dérivée covariante, elles s'écrivent : Cette formulation est classique. La construction rigoureuse de la théorie quantique et l'existence d'un écart de masse positif constituent une question distincte, au cœur du problème du millénaire cité dans la définition de référence.

Considérons un exemple algébrique local, sans unité physique. On cherche la composante de courbure F₁₂. Les données sont : un couplage g égal à 1 ; deux générateurs T₁ et T₂ tels que leur commutateur vaut T₃ ; deux composantes constantes A₁ = 2T₁ et A₂ = 2T₂.

1. Les composantes étant constantes, les deux termes de dérivation de F₁₂ sont nuls.

2. Il reste le terme de commutateur. Par bilinéarité :

3. Le résultat est donc F₁₂ = 4T₃, bien que toutes les dérivées soient nulles. Un contrôle refaisable consiste à inverser l'ordre : [T₂, T₁] = −T₃, donc [2T₂, 2T₁] = −4T₃. Le changement de signe confirme que l'ordre compte. Le schéma associé rend visibles ces deux chemins opposés.

Pour construire un modèle de champ, on commence par choisir le groupe de jauge. Si ses transformations commutent, la structure abélienne de l'électromagnétisme classique suffit. Si leur ordre modifie le résultat, il faut conserver le commutateur d'une théorie de Yang-Mills.

Pour étudier une configuration classique, on calcule d'abord sa courbure F_μν, puis la fonctionnelle de Yang-Mills. Une configuration candidate doit satisfaire les équations d'Euler-Lagrange ; le seul fait que sa courbure soit non nulle ne suffit pas à en faire une solution.

Pour aborder l'écart de masse, on change de cadre : la question porte sur une théorie quantique rigoureusement construite, pas seulement sur une solution des équations classiques. Ce critère évite de présenter un calcul classique comme une réponse au problème du millénaire.

Théorie de Yang-Mills et électromagnétisme classique. Les deux sont des théories de jauge, mais la première emploie ici un groupe non abélien. Le test est le commutateur des composantes du potentiel : s'il peut être non nul, son terme subsiste dans la courbure ; dans le cas abélien, il s'annule.

Fonctionnelle et équations de Yang-Mills. La fonctionnelle attribue une action à chaque configuration de champ. Les équations sélectionnent ses points stationnaires. Une configuration peut donc avoir une action bien définie sans satisfaire les équations d'Euler-Lagrange.

Théorie classique et théorie quantique. Le champ classique se décrit par une connexion et sa courbure. Les particules de spin 1 et l'écart de masse relèvent de l'interprétation quantique. Résoudre une équation classique non linéaire ne construit pas, à lui seul, la théorie quantique.

Un potentiel constant n'implique pas un champ nul. Le symptôme trompeur est l'annulation de toutes les dérivées. Dans le cas non abélien de l'exemple, le commutateur demeure et la composante de courbure vaut F₁₂ = 4T₃. Il faut toujours calculer les trois termes de la courbure.

SU(2) et SU(3) sont des exemples, pas une liste exhaustive. Les réduire à une définition ferait confondre la théorie avec deux choix particuliers de groupe. Il faut vérifier la non-commutativité du groupe de jauge et préciser le groupe effectivement choisi.

L'écart de masse n'est pas la masse ajoutée à la main dans une équation classique. Il désigne, dans le problème quantique, l'écart entre l'énergie du vide et l'infimum du spectre situé au-dessus d'elle ; cet écart doit être strictement positif, sans qu'un état atteigne nécessairement cet infimum. Il faut annoncer explicitement le cadre quantique avant d'en parler.

Une solution classique non triviale ne résout pas le problème du millénaire. Le raccourci associe à tort deux questions d'existence. Le problème demande une construction mathématique de la théorie quantique de Yang-Mills et la preuve d'un écart de masse positif ; une configuration classique ne suffit pas.

groupe de Lie — Pour approfondir la structure continue dont l'algèbre porte les générateurs et leurs commutateurs.

équation d'Euler-Lagrange — Pour relier la variation d'une fonctionnelle aux équations satisfaites par ses points stationnaires.