AnalyseObjet mathématique · Glossaire
équation d'Euler-Lagrange
L'équation d'Euler-Lagrange est la condition nécessaire satisfaite par tout extremum suffisamment régulier d'une fonctionnelle intégrale différentiable, pour des variations admissibles respectant les conditions au bord. Elle traduit l'annulation de la variation au premier ordre et permet de rechercher les fonctions ou trajectoires stationnaires du calcul des variations.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier une optimisation de courbes à l'annulation de la première variation.
- Identifier le rôle de la fonctionnelle, du lagrangien et des conditions aux extrémités.
- Appliquer l'équation à un lagrangien quadratique et contrôler la solution obtenue.
- Reconnaître les situations où stationnarité ne suffit pas à prouver un minimum.
En clair
Imaginez toutes les courbes reliant deux points. À chacune, on attribue un score global : sa longueur, un temps de descente ou une autre quantité à optimiser. Déplacer très légèrement la meilleure courbe ne doit pas améliorer ce score au premier ordre.
L'équation d'Euler-Lagrange traduit cette absence d'amélioration infinitésimale en une relation vérifiable le long de la courbe. Elle réduit ainsi une recherche parmi une infinité de formes à la résolution d'une équation différentielle.
Définition
Une fonctionnelle associe un nombre à une fonction entière. Sur l'intervalle allant du réel a au réel b, on considère une fonction admissible y et la fonction L, appelée lagrangien, qui dépend de la variable x, de la valeur y(x) et de sa dérivée y′(x). La fonctionnelle J est alors définie par :
Si les valeurs de y aux extrémités sont fixées, si y est un extremum local suffisamment régulier de J et si L possède les dérivées nécessaires, alors y satisfait l'équation d'Euler-Lagrange :
Cette relation est une condition nécessaire de stationnarité, non une garantie de minimum ou de maximum. Avec plusieurs variables indépendantes, elle devient généralement une équation aux dérivées partielles. Avec des extrémités libres, des conditions supplémentaires, dites naturelles ou de transversalité, accompagnent l'équation.
De quoi c'est fait
La construction réunit cinq éléments. La fonction admissible y est l'objet que l'on cherche. L'intervalle et les conditions aux extrémités précisent où elle est définie et quelles variations sont permises. Le lagrangien L attribue un coût local à chaque position, valeur et pente. L'intégrale additionne ces coûts pour former la fonctionnelle J. Enfin, les dérivées de L mesurent l'effet d'une petite modification de la valeur ou de la pente.
Le choix de L détermine donc l'équation, tandis que les conditions aux extrémités sélectionnent une solution parmi celles de cette équation. Ensemble, ces données suffisent à poser le problème variationnel. La couleur, l'échelle ou le tracé d'une courbe n'en font pas partie : seule sa fonction paramétrée et son domaine comptent.
Un exemple, pas à pas
On cherche, sur l'intervalle [0, 1], la fonction y qui minimise une fonctionnelle quadratique. Les données sont les suivantes : les extrémités vérifient y(0) = 0 et y(1) = sinh(1), et le lagrangien vaut .
1. Les dérivées partielles du lagrangien sont : et .
2. L'équation d'Euler-Lagrange devient : , soit .
3. Les solutions de cette équation ont la forme , où A et B sont des constantes.
4. La condition y(0) = 0 impose B = 0. La condition y(1) = sinh(1) impose ensuite A = 1. La candidate est donc .
5. Le contrôle est direct : la fonction obtenue vérifie et les deux valeurs aux extrémités. Comme le lagrangien est strictement convexe en y et y′, cette candidate est l'unique minimum.
La courbe minimisante reste légèrement sous le segment droit reliant les mêmes extrémités. Leurs valeurs coïncident uniquement aux deux bornes de l'intervalle.
En pratique
Pour chercher une géodésique sur une surface, on écrit la longueur de la courbe comme une fonctionnelle. L'équation d'Euler-Lagrange est adaptée lorsque toute la forme du chemin est inconnue ; comparer quelques chemins dessinés ne suffit alors pas.
Dans le problème de la brachistochrone, la quantité à minimiser est le temps de descente, et non la longueur. Le lagrangien doit donc traduire ce temps avant d'appliquer l'équation ; choisir le lagrangien de longueur répondrait à une autre question.
Si les candidats dépendent seulement de quelques paramètres, un calcul ordinaire de dérivées est souvent plus direct. L'équation d'Euler-Lagrange devient pertinente lorsque le choix porte sur une fonction entière, donc sur une infinité continue de valeurs.
À ne pas confondre
Les multiplicateurs de Lagrange traitent classiquement un extremum d'une fonction de plusieurs variables sous contraintes. L'équation d'Euler-Lagrange traite un extremum portant sur une fonction entière : la présence d'une intégrale dépendant de y et de y′ tranche entre les deux cadres.
Une équation différentielle donnée décrit toutes ses solutions, sans nécessairement provenir d'une optimisation. Une équation d'Euler-Lagrange est au contraire obtenue à partir d'une fonctionnelle précise. Deux équations de même apparence ne jouent donc pas le même rôle si aucun lagrangien et aucune variation admissible ne sont spécifiés.
Limites et pièges
Stationnaire ne signifie pas minimal. Une solution de l'équation peut être un maximum ou un point selle. Le symptôme est l'existence de variations qui diminuent la fonctionnelle malgré l'annulation du premier ordre ; il faut alors étudier la seconde variation ou une propriété de convexité.
La régularité peut manquer. Un minimiseur avec un angle, une contrainte d'inégalité active ou un lagrangien non différentiable ne vérifie pas forcément la forme classique en tout point. Il faut découper le domaine et employer les conditions de raccordement ou une formulation variationnelle adaptée.
Une extrémité libre change le problème. Imposer seulement l'équation intérieure laisse alors des candidats indéterminés. Les variations au bord ne s'annulent plus ; il faut ajouter les conditions naturelles ou de transversalité fournies par le calcul de la variation.
Un lagrangien dégénéré demande de la prudence. Si la dérivée seconde de L par rapport à y′ vaut zéro, l'équation ne permet pas nécessairement d'isoler y″. Il faut analyser les contraintes restantes au lieu de supposer une équation différentielle ordinaire du second ordre.
Pour aller plus loin
L'article Brachistochrone : montre un problème où la courbe optimale minimise un temps de descente plutôt qu'une distance.
L'article Les droites dans les espaces courbes : les géodésiques prolonge l'étude des chemins de longueur minimale sur une surface.
La fiche Extremum précise le vocabulaire des minima, maxima et points stationnaires utilisé dans le calcul des variations.
La fiche Dérivée partielle éclaire les deux dérivations du lagrangien qui composent l'équation.
La fiche Multiplicateurs de Lagrange présente l'outil voisin pour optimiser une fonction de plusieurs variables sous contraintes.
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