AnalyseThéorème · Glossaire
Extrema liés (théorème des)
Les extrema liés (ou extrema sous contraintes) sont les extrema d'une fonction soumise à des contraintes sous forme d'équations. La méthode des multiplicateurs de Lagrange permet de trouver ces extrema : un point critique est un point où le gradient de la fonction est une combinaison linéaire des gradients des contraintes, les coefficients étant les multiplicateurs de Lagrange. Cette méthode est fondamentale en optimisation et intervient en économie, en physique et dans les problèmes variationnels.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer un extremum libre d’un extremum sous contrainte.
- Énoncer la condition des multiplicateurs de Lagrange avec ses hypothèses de régularité.
- Résoudre et contrôler l’exemple du rectangle de périmètre 20.
- Repérer les contraintes singulières, les bords et les candidats sans verdict.
En clair
Un rectangle doit avoir un périmètre fixé à 20. Sa longueur et sa largeur peuvent varier, mais leur somme reste égale à 10. Parmi tous ces rectangles autorisés, lequel possède la plus grande aire ? Chercher un extremum lié, c’est maximiser ou minimiser une quantité sans quitter l’ensemble imposé par la contrainte. Au meilleur rectangle, une petite modification qui respecte le périmètre ne peut plus augmenter l’aire.
Définition
Soit une fonction à optimiser, notée , et des contraintes données par des fonctions . Un extremum lié est un maximum ou un minimum de parmi les points qui satisfont toutes les équations . Il peut donc différer d’un extremum de la même fonction sur tout son domaine.
Lorsque les fonctions sont différentiables et que les gradients des contraintes sont linéairement indépendants au point étudié, tout extremum local contraint vérifie une condition nécessaire. Il existe des nombres , appelés multiplicateurs de Lagrange, tels que :
Géométriquement, le gradient de la fonction à optimiser n’a alors aucune composante dans une direction autorisée par les contraintes. Cette égalité fournit des candidats ; elle ne prouve pas, à elle seule, qu’ils sont des maxima ou des minima.
Le principe
Si une fonction et les fonctions de contrainte sont différentiables près d’un extremum local contraint, et si les gradients des contraintes y sont linéairement indépendants, alors il existe des multiplicateurs vérifiant :
On résout ce système, puis on compare les valeurs de aux candidats admissibles et aux éventuels bords.
Quand l'utiliser
La méthode s’applique directement à des fonctions différentiables soumises à des équations. Il faut connaître la fonction à optimiser, écrire chaque contrainte sous la forme , puis vérifier que les gradients des contraintes sont linéairement indépendants au point candidat. Il faut enfin rechercher séparément les bords créés par des inégalités et vérifier l’existence de l’extremum, par exemple grâce à un ensemble admissible fermé et borné.
Un contre-cas révèle le rôle de la régularité : la contrainte n’autorise que l’origine, mais son gradient y est nul. L’origine optimise donc toute fonction sur cet ensemble réduit à un point, tandis que l’équation des multiplicateurs peut ne fournir aucun multiplicateur. Il faut alors étudier directement l’ensemble admissible ou employer un outil adapté aux contraintes singulières.
Un exemple, pas à pas
On cherche le rectangle de plus grande aire parmi ceux dont le périmètre vaut 20. Sa longueur et sa largeur sont positives ou nulles. Les données sont donc l’aire et la contrainte , soit .
Étape 1. Les gradients valent et . Ce dernier n’est jamais nul.
Étape 2. La condition de Lagrange et la contrainte donnent :
Les deux coordonnées de la première égalité imposent .
Étape 3. En remplaçant par dans la contrainte, on obtient , donc . L’aire candidate vaut exactement .
La droite des dimensions admissibles est tangente en ce point à la courbe de niveau d’aire 25. Cette lecture géométrique rend visible le parallélisme des gradients.
Contrôle. Sur le segment admissible, , donc . L’égalité n’a lieu que pour . Le rectangle recherché est donc le carré de côtés 5, d’aire maximale 25. Aux deux extrémités du segment, l’aire vaut 0.
En pratique
En géométrie, une longueur totale, une aire ou un volume peut être fixé tandis qu’une autre grandeur doit être rendue maximale ou minimale. Pour le rectangle de périmètre 20, la contrainte réduit toutes les dimensions possibles à un segment et le calcul sélectionne le carré de côté 5.
En économie, la quantité optimisée peut être un coût ou un rendement, sous des équations représentant des ressources imposées. Si le modèle comporte aussi des seuils ou des inégalités, il faut examiner les frontières actives au lieu d’appliquer seulement le système d’égalités.
En physique et dans les problèmes variationnels, la même idée consiste à chercher un état optimal parmi les états admissibles. Les multiplicateurs mesurent alors la sensibilité de la valeur optimale à une petite variation des contraintes, lorsque les hypothèses de régularité nécessaires sont satisfaites.
À ne pas confondre
Extremum libre. Sans contrainte, un point intérieur différentiable candidat vérifie . Sous une contrainte régulière, le gradient peut être non nul : il doit seulement être perpendiculaire aux directions autorisées. Pour l’aire du rectangle en , le gradient vaut , pas zéro.
Point critique ordinaire. Cette expression désigne souvent un point où la dérivée s’annule ou n’existe pas sur le domaine ambiant. Un candidat de Lagrange est critique pour la restriction de la fonction à l’ensemble admissible. Le critère testable est donc de regarder quelles directions de déplacement sont permises.
Limites et pièges
Contrainte singulière. Si un gradient de contrainte s’annule ou si plusieurs gradients deviennent dépendants, l’absence de multiplicateur ne réfute pas l’existence d’un extremum. Le cas à l’origine en donne un exemple : il faut étudier directement l’ensemble admissible.
Candidat sans verdict. Les équations de Lagrange expriment une condition nécessaire, non une preuve de maximum ou de minimum. Il faut comparer les valeurs, étudier les bords ou utiliser un argument de convexité. Dans l’exemple du rectangle, l’identité fournit le verdict.
Inégalités et bords. Une contrainte telle que peut être inactive à l’intérieur et décisive au bord. Dans l’exemple, les cas charnières ou donnent une aire nulle. Pour un système général d’inégalités, les conditions de Karush-Kuhn-Tucker sont l’outil adapté sous leurs propres hypothèses.
Existence globale. Sur un ensemble admissible non borné ou non fermé, la meilleure valeur peut ne pas être atteinte. Une suite de valeurs qui s’améliore ne suffit donc pas. Il faut établir l’existence d’un optimum ou annoncer seulement une borne ou un infimum.
Pour aller plus loin
La notion d’extremum replace maxima et minima dans leur cadre général, avant l’ajout de contraintes.
La fiche sur la dérivée partielle détaille les variations coordonnées dont le gradient rassemble les valeurs.
Le point critique aide à distinguer la recherche sans contrainte de la stationnarité le long d’un ensemble admissible.
L’inégalité arithmético-géométrique offre une autre preuve que, pour une somme positive fixée, le produit est maximal lorsque les termes sont égaux.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres