inégalité arithmético-géométrique

Prenons deux nombres, 4 et 9. Leur moyenne arithmétique, obtenue en les additionnant puis en divisant par deux, vaut 6,5. Leur moyenne géométrique, obtenue à partir de leur produit, vaut 6. L’inégalité arithmético-géométrique affirme que ce second résultat ne peut pas dépasser le premier.

L’intuition est celle d’un équilibrage : à somme fixée, rapprocher les valeurs les unes des autres augmente leur produit. Le maximum est atteint lorsqu’elles deviennent toutes égales.

L’inégalité arithmético-géométrique compare deux façons de moyenner un nombre fini de réels strictement positifs. On note ces nombres a₁, a₂, …, a_n, où n est leur nombre. Leur moyenne arithmétique A est leur somme divisée par n. Leur moyenne géométrique G est la racine n-ième de leur produit.

Ces définitions donnent l’inégalité suivante : $G={\left({\prod }_{i=1}^n{a}_i\right)}^{1\mathrm{/}n}\le \frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{a}_i=AG=\backslash left(\backslash prod\_\{i=1\}^\{n\}a\_i\backslash right)^\{1/n\}\backslash leq\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}a\_i=A$. L’égalité G = A se produit si et seulement si a₁ = a₂ = ⋯ = a_n. Pour deux nombres, la relation devient $\sqrt{a_1{a}_2}\le \frac{a_1+a_2}{2}\backslash sqrt\{a\_1a\_2\}\backslash leq\backslash frac\{a\_1+a\_2\}\{2\}$.

La moyenne harmonique H, définie comme l’inverse de la moyenne arithmétique des inverses, complète la comparaison. Pour les mêmes nombres strictement positifs, on a H ≤ G ≤ A. Ces trois moyennes coïncident exactement lorsque toutes les valeurs sont égales.

Si a₁, a₂, …, a_n sont n réels strictement positifs, alors leur produit et leur somme vérifient : ${(a_1{a}_2\cdots a_n)}^{1\mathrm{/}n}\le \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\backslash left(a\_1a\_2\backslash cdots\; a\_n\backslash right)^\{1/n\}\backslash leq\backslash frac\{a\_1+a\_2+\backslash cdots+a\_n\}\{n\}$. Le membre de gauche est leur moyenne géométrique ; celui de droite est leur moyenne arithmétique. L’égalité a lieu si et seulement si tous les nombres sont égaux.

La forme donnée ici s’applique à un nombre fini n, avec n au moins égal à 1, de réels tous strictement positifs. Il faut employer la même liste de valeurs pour calculer A, G et, si elle intervient, H. La positivité garantit que la racine n-ième du produit et les inverses utilisés dans H sont définis comme nombres réels.

Avec −1 et 4, le produit vaut −4 : la moyenne géométrique réelle des deux valeurs n’est pas définie. On ne peut donc pas appliquer directement cet énoncé. Il faut soit rester dans le domaine strictement positif, soit employer une autre inégalité adaptée aux signes des données.

On compare les trois moyennes des nombres 4 et 9. Les données sont n = 2, a₁ = 4 et a₂ = 9.

1. La moyenne harmonique est $H=\frac{2}{1\mathrm{/}4+1\mathrm{/}9}=\frac{72}{13}\approx \mathrm{5,54}H=\backslash frac\{2\}\{1/4+1/9\}=\backslash frac\{72\}\{13\}\backslash approx5\{,\}54$.
2. La moyenne géométrique est $G=\sqrt{4\times 9}=\sqrt{36}=6G=\backslash sqrt\{4\backslash times9\}=\backslash sqrt\{36\}=6$.
3. La moyenne arithmétique est $A=\frac{4+9}{2}=\frac{13}{2}=\mathrm{6,5}A=\backslash frac\{4+9\}\{2\}=\backslash frac\{13\}\{2\}=6\{,\}5$.
4. La comparaison donne donc .

Le résultat confirme H ≤ G ≤ A, avec deux inégalités strictes puisque 4 et 9 ne sont pas égaux. La figure place les trois valeurs sur une même droite graduée. Pour contrôler sans arrondi, on compare 72/13 à 6 : multiplier par 13 donne 72 < 78 ; puis 6 à 13/2 : multiplier par 2 donne 12 < 13.

En optimisation, l’inégalité transforme une somme fixée en borne sur un produit. Pour un rectangle de périmètre fixé, ses deux côtés ont une somme fixée ; leur produit, donc l’aire, est maximal quand ils sont égaux. Le rectangle optimal est alors un carré.

Dans un calcul, on l’emploie pour majorer une moyenne géométrique par une moyenne arithmétique plus simple. Si les données ne sont pas toutes strictement positives, cette forme de l’inégalité n’est pas le bon outil : le signe des valeurs doit d’abord être examiné.

Elle sert aussi à repérer le cas optimal sans chercher chaque valeur séparément. Le critère observable est l’égalité de toutes les valeurs : tant qu’elles diffèrent, la moyenne géométrique reste strictement sous la moyenne arithmétique.

La moyenne arithmétique et la moyenne géométrique ne sont pas deux noms du même calcul. La première divise une somme par le nombre de valeurs ; la seconde prend une racine du produit. Pour 4 et 9, elles valent respectivement 6,5 et 6.

L’inégalité compare ces moyennes, mais ne les déclare pas toujours égales. Le test est précis : l’égalité a lieu uniquement lorsque toutes les valeurs comparées sont identiques.

Une valeur nulle sort des hypothèses strictes de cet énoncé. La moyenne géométrique devient alors nulle, mais la moyenne harmonique n’est plus définie par la formule contenant 1/0. Il ne faut donc pas conserver sans précaution toute la chaîne H ≤ G ≤ A.

Pour n = 1, l’inégalité est un cas charnière : les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique sont toutes égales à l’unique valeur positive. Le résultat reste vrai, mais n’apporte alors aucune borne stricte.

Le symbole ≤ ne donne pas le sens d’une approximation. Dans l’exemple, 72/13 est exact tandis que 5,54 est seulement un arrondi au centième. Pour une preuve ou un contrôle, les fractions exactes évitent qu’un arrondi masque l’ordre des valeurs.

La moyenne harmonique complète la chaîne H ≤ G ≤ A et montre comment la moyenne des inverses se place face aux deux autres moyennes.

L’inégalité de Jensen, appliquée à la fonction logarithme concave, fournit un cadre plus général dont l’inégalité arithmético-géométrique est un cas particulier.

La concavité d’une fonction explique géométriquement pourquoi la moyenne des logarithmes ne dépasse pas le logarithme de la moyenne.