inégalité de Schur

Prenons trois nombres positifs ou nuls, par exemple 3, 2 et 1. L’inégalité de Schur additionne trois contributions : certaines peuvent être négatives, mais les autres les compensent toujours. Avec une même puissance positive appliquée à chaque nombre, le total ne descend jamais sous zéro.

Cette garantie est surtout utile lorsque les trois variables jouent des rôles interchangeables. Elle transforme alors une expression symétrique difficile à comparer en une borne immédiatement exploitable.

L’inégalité de Schur est un résultat classique attribué à Issaï Schur. Elle porte sur trois réels positifs ou nuls, notés a, b et c, et sur un exposant réel strictement positif, noté k. Elle affirme que la somme de trois termes obtenus par permutation des variables est positive ou nulle.

L’égalité a lieu si et seulement si les trois nombres sont égaux, ou si deux d’entre eux sont égaux et le troisième vaut zéro. Les exposants k = 1 et k = 2 sont les cas les plus courants. Ils donnent des inégalités polynomiales homogènes et symétriques, utilisées notamment dans les concours mathématiques et dans l’étude des polynômes symétriques.

Si a, b et c sont trois réels positifs ou nuls et si l’exposant réel k est strictement positif, alors :

Chaque terme associe la puissance d’une variable aux deux écarts qui la séparent des autres. Le verdict porte sur leur somme, et non sur le signe de chaque terme pris isolément.

Le domaine est celui de trois réels positifs ou nuls et d’un exposant réel k strictement positif. Les trois variables doivent intervenir dans les trois termes permutés de la formule. La conclusion garantit seulement que la somme complète est positive ou nulle ; un terme isolé peut être négatif.

La condition de signe est indispensable. Avec a = −3, b = −3, c = −2 et k = 1, les deux premiers termes sont nuls et le troisième vaut −2 : la conclusion échoue. Si des variables négatives sont admises, il faut donc établir une autre borne adaptée à l’expression au lieu d’invoquer Schur.

Prenons a = 3, b = 2, c = 1 et l’exposant k = 1. Les quatre données satisfont les hypothèses : les trois nombres sont positifs et l’exposant est strictement positif.

1. Le terme associé à a vaut 3 × (3 − 2) × (3 − 1) = 6.

2. Le terme associé à b vaut 2 × (2 − 1) × (2 − 3) = −2.

3. Le terme associé à c vaut 1 × (1 − 3) × (1 − 2) = 2.

4. La somme vaut 6 − 2 + 2 = 6. Elle est bien positive. Un bilan graphique des trois contributions montre que le terme négatif est plus que compensé par les deux termes positifs.

Le contrôle se refait en additionnant directement les trois résultats : 6 + (−2) + 2 = 6. Comme les nombres 3, 2 et 1 ne sont ni tous égaux ni dans un cas d’égalité avec un zéro, obtenir une valeur strictement positive est cohérent.

Dans un problème de concours à trois variables positives ou nulles, Schur devient un bon réflexe lorsque l’expression est symétrique et homogène, surtout aux degrés correspondant à k = 1 ou k = 2. On réécrit alors l’objectif pour faire apparaître la somme de Schur.

Pour contrôler un calcul, on évalue séparément les trois contributions avant de les additionner. Le signe négatif éventuel d’une contribution ne suffit pas à rejeter l’inégalité : seul le total décide.

Si l’expression met plutôt en regard une moyenne arithmétique et une moyenne géométrique, l’inégalité arithmético-géométrique est généralement la forme directe. Le choix se fait donc sur la structure visible de l’expression, pas seulement sur la présence de variables positives.

L’inégalité arithmético-géométrique. Elle compare une moyenne arithmétique à une moyenne géométrique, tandis que Schur additionne des puissances multipliées par deux écarts. Une expression de la forme (x + y)/2 face à √(xy) relève de la première, pas de Schur.

Un polynôme symétrique. C’est une expression inchangée quand on permute ses variables ; ce n’est pas, à lui seul, une inégalité. Pour k = 1 ou k = 2, Schur fournit précisément une inégalité polynomiale symétrique.

« Positif » doit ici inclure zéro. La famille d’égalité où deux variables sont égales et la troisième nulle l’exige. Si les trois variables sont strictement positives, seule l’égalité a = b = c reste possible.

Un terme négatif n’est pas un contre-exemple. Dans le cas 3, 2, 1 avec k = 1, le terme central vaut −2, mais la somme vaut 6. Il faut toujours calculer les trois termes.

Les variables négatives sortent du domaine. Le quadruplet −3, −3, −2 et k = 1 donne une somme égale à −2. Le symptôme est une conclusion négative malgré une substitution correcte ; il faut alors choisir une autre inégalité.

L’exposant doit vérifier k > 0. Les cas k = 0 ou k < 0 ne sont pas couverts, et une variable nulle rend en outre une puissance négative non définie. Il faut vérifier ce seuil avant toute application.

Le glossaire Polynôme symétrique (élémentaire) précise comment une expression peut rester inchangée sous les permutations de ses variables, propriété centrale des cas polynomiaux de Schur.

L’inégalité arithmético-géométrique fournit une autre borne classique pour des nombres positifs ou nuls. La comparer à Schur aide à choisir l’outil adapté à la forme de l’expression.