fonction de Schur

Prenez deux nombres, notés x₁ et x₂, puis formez x₁x₂(x₁ + x₂). Échanger les deux nombres ne change pas le résultat : le polynôme est symétrique. Ses trois facteurs variables donnent toujours un degré total égal à 3.

Cette expression est la fonction de Schur associée à la partition (2, 1) dans deux variables. La partition fournit une forme ordonnée, et la fonction rassemble cette information dans un polynôme insensible à l'ordre des variables.

Fixons un nombre n de variables x₁, …, x_n. Une partition λ est une suite décroissante d'entiers non négatifs λ₁ ≥ … ≥ λ_n ; des zéros peuvent compléter la suite. La fonction de Schur associée est définie par le quotient suivant :

Le dénominateur est le déterminant de Vandermonde . Le numérateur et le dénominateur changent tous deux de signe lorsque deux variables sont échangées ; leur quotient est donc symétrique. Après simplification, ce quotient est un polynôme homogène de degré |λ|, la somme des parts de λ. Pour un nombre fixé de variables, les fonctions indexées par les partitions ayant au plus n parts forment une base des polynômes symétriques, degré par degré.

Une autre écriture est la formule de Jacobi-Trudi. Si h_r désigne le polynôme symétrique homogène complet de degré r, avec h₀ = 1 et h_r = 0 pour r négatif, alors : $s_{\lambda }=\det (h_{{\lambda }_i-i+j}{)}_{1\le i,j\le \mathrm{\ell }(\lambda )}s\_\{\backslash lambda\}=\backslash det(h\_\{\backslash lambda\_i-i+j\})\_\{1\backslash le\; i,j\backslash le\; \backslash ell(\backslash lambda)\}$.

Cinq éléments construisent l'objet. La partition λ ordonne les parts et fixe le degré total |λ|. Les variables x₁, …, x_n fixent le nombre de lignes et de colonnes des déterminants. Le numérateur alternant combine λ avec les décalages n − j. Le déterminant de Vandermonde au dénominateur porte le même changement de signe lors d'un échange de variables. Le quotient simplifié est alors symétrique et polynomial. La longueur de λ doit être compatible avec le nombre n de variables pour cette formule. La partition (2, 1), représentée par deux cases sur une première ligne et une sur la seconde, encode ainsi le degré 3 ; le dessin rend cette donnée visible sans définir à lui seul les coefficients du polynôme.

Données. Prenons deux variables x₁ et x₂, la partition λ = (2, 1), puis les valeurs x₁ = 2 et x₂ = 1. La somme des parts vaut 3.

1. Les exposants du numérateur sont 3 et 1 ; ceux du dénominateur sont 1 et 0. On écrit :

2. On développe les deux déterminants, puis on factorise le numérateur :

3. On remplace les variables par les valeurs annoncées : $s_{(2,1)}(2,1)=2\times 1\times (2+1)=6s\_\{(2,1)\}(2,1)=2\backslash times1\backslash times(2+1)=6$. Le résultat exact est 6.

Contrôle. Échanger 2 et 1 redonne 6, ce qui vérifie la symétrie. Chaque terme développé, x₁²x₂ et x₁x₂², a aussi le degré total 3 attendu.

En algèbre combinatoire, on choisit la base de Schur lorsque les objets sont naturellement indexés par des partitions. Si le calcul porte surtout sur des sommes ou des produits élémentaires, les bases élémentaire, homogène complète ou des sommes de puissances peuvent être plus directes.

En théorie des représentations des groupes symétriques ou de GL(n), l'indice λ permet d'organiser les objets par partition. La base de Schur est adaptée lorsque cette même indexation doit rester visible dans les calculs.

En géométrie algébrique, notamment dans le calcul de Schubert, les fonctions de Schur traduisent des opérations en identités de polynômes symétriques. Pour convertir une expression écrite avec les polynômes homogènes complets, la formule de Jacobi-Trudi donne un déterminant calculable.

Avec le déterminant de Vandermonde. Celui-ci change de signe lorsqu'on échange deux variables, tandis qu'une fonction de Schur ne change pas. Dans l'exemple à deux variables, x₁ − x₂ est alternant, mais x₁x₂(x₁ + x₂) est symétrique.

Avec une autre base symétrique. Les fonctions élémentaires et homogènes complètes fournissent des bases sur les entiers ; sur les rationnels, les sommes de puissances en fournissent aussi une. Leurs éléments de base ne portent pas les mêmes indices ni les mêmes coefficients. Pour une partition réduite à une seule part r, la fonction de Schur est h_r ; pour r parts égales à 1, avec r ≤ n, elle est le polynôme élémentaire e_r.

Avec une composition d'entier. Une partition range ses parts dans l'ordre décroissant. Ainsi, (2, 1) est une partition de 3, alors que la suite (1, 2) n'est pas un nouvel indice de Schur : elle doit d'abord être remise dans l'ordre.

Variables égales. Le quotient de déterminants affiche 0 au numérateur et 0 au dénominateur lorsque deux variables coïncident. Il ne faut pas conclure que la fonction est indéfinie : on simplifie d'abord le quotient en un polynôme. Pour λ = (2, 1) et x₁ = x₂ = a, on obtient exactement 2a³.

Trop de parts pour le nombre de variables. La formule avec des déterminants n × n suppose que λ possède au plus n parts non nulles. Sous la spécialisation usuelle à n variables, une partition ayant plus de n lignes donne une fonction de Schur nulle. Pour conserver l'objet non nul, il faut travailler avec davantage de variables.

Zéros finaux et partition vide. Ajouter des zéros à la fin de λ ne change pas la fonction ; ces zéros servent seulement à adapter l'écriture au nombre de variables. La partition vide est le cas de degré 0 et correspond au polynôme constant 1, non à une absence de définition.

Le changement de base est le prolongement naturel : une même expression symétrique peut être développée dans la base de Schur, dans la base élémentaire, dans la base homogène complète ou avec les sommes de puissances. Comparer ces coordonnées révèle ce que chaque famille rend immédiatement lisible.

La fiche Polynôme symétrique (élémentaire) précise la symétrie par échange de variables et situe une autre base classique du même anneau.