Vandermonde Alexandre-Théophile

En 1771, le mathématicien français Alexandre-Théophile Vandermonde étudie la résolution des équations de degré au moins 4. Il observe des structures dans la manière dont les solutions peuvent être permutées, bien avant la formulation ultérieure de la théorie des groupes de substitution.

Son nom est aujourd'hui surtout visible sur une matrice : chaque ligne reprend un nombre, puis ses puissances successives. Son déterminant indique immédiatement si des nombres distincts permettent de retrouver un unique polynôme passant par les valeurs données.

Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796) est un mathématicien français dont les recherches concernent principalement les équations linéaires et les déterminants. Dans son Mémoire sur la résolution des équations de 1771, il étudie les équations algébriques de degré supérieur ou égal à 4. Ce texte préfigure la théorie des groupes de substitution, développée ultérieurement par Évariste Galois et Camille Jordan. Vandermonde s'est aussi intéressé aux applications des mathématiques à l'économie et à la métallurgie, et il est à l'origine de la création du Conservatoire des Arts et Métiers en 1794.

Son nom reste attaché à une matrice construite à partir de nombres x₁, x₂, …, x_n. La ligne associée au nombre x_i contient 1, puis x_i et ses puissances jusqu'à l'exposant n − 1. Son déterminant vaut : . Il est non nul exactement lorsque les nombres x_i sont deux à deux distincts.

Cette propriété intervient notamment en interpolation polynomiale. Pour n abscisses distinctes et n valeurs fixées, le système de Vandermonde possède une solution unique : il détermine les coefficients d'un unique polynôme de degré au plus n − 1. Le nom de Vandermonde désigne ici l'objet algébrique éponyme ; il ne faut pas confondre cet objet avec l'ensemble de ses travaux.

Cherchons un polynôme de degré au plus 2 qui vaut 2, 5 et 10 aux abscisses respectives 1, 2 et 3. Les données sont donc les trois couples (1 ; 2), (2 ; 5) et (3 ; 10). Les inconnues a, b et c désignent les coefficients du polynôme a + bx + cx².

1. Écrivons le système sous forme matricielle :

2. Le déterminant de la matrice vaut (2 − 1)(3 − 1)(3 − 2) = 2. Il n'est pas nul, car les trois abscisses sont distinctes ; le système possède donc une unique solution. La figure relie ces trois écarts au produit qui donne 2.

3. Soustrayons la première équation de la deuxième, puis la deuxième de la troisième. Nous obtenons b + 3c = 3 et b + 5c = 5. Leur différence donne 2c = 2, donc c = 1, puis b = 0 et a = 1.

4. Le polynôme cherché est donc 1 + x². Le contrôle se refait directement : pour x = 1, 2 et 3, il donne respectivement 2, 5 et 10. Les trois valeurs annoncées sont retrouvées.

En interpolation polynomiale, une matrice de Vandermonde traduit les valeurs imposées en un système sur les coefficients. Si l'objectif est seulement d'évaluer rapidement le polynôme sans calculer ses coefficients dans la base des puissances, les formes de Newton ou de Lagrange peuvent être préférables.

Pour vérifier l'unicité, examinez les abscisses avant de résoudre le système. Des abscisses deux à deux distinctes rendent le déterminant non nul. Si deux abscisses coïncident avec des valeurs différentes, aucun polynôme ne peut satisfaire les deux conditions ; avec la même valeur, les données ne suffisent plus à imposer l'unicité au degré annoncé.

Pour replacer l'objet dans son histoire, partez du mémoire de 1771 et distinguez deux héritages : l'étude des permutations de racines, précurseur des groupes de substitution, et le déterminant aujourd'hui éponyme. Cette distinction évite de réduire les travaux de Vandermonde à une seule formule.

Matrice et déterminant de Vandermonde. La matrice est le tableau dont les lignes contiennent les puissances successives des x_i. Son déterminant est le nombre obtenu par le produit des différences x_j − x_i pour toutes les paires d'indices telles que 1 ≤ i < j ≤ n. Dans l'exemple, la matrice a trois lignes, tandis que son déterminant vaut 2.

Déterminant et identité de Vandermonde. Le déterminant porte sur une matrice de puissances. L'identité de Vandermonde relie des coefficients binomiaux. Pour des entiers naturels r, s et n tels que n ≤ r + s, avec un coefficient pris égal à 0 hors de son domaine, elle s'écrit : ${\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{r}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{s}{n-k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{r+s}{n}\right)\backslash sum\_\{k=0\}^\{n\}\backslash binom\{r\}\{k\}\backslash binom\{s\}\{n-k\}=\backslash binom\{r+s\}\{n\}$. La présence d'une matrice ou d'une somme de coefficients permet de trancher.

Abscisses répétées. Dès que x_i = x_j pour deux indices distincts, un facteur x_j − x_i vaut 0 et le déterminant s'annule. Le système ordinaire ne garantit alors plus un polynôme unique ; des conditions supplémentaires, comme des valeurs de dérivées, relèvent d'une autre interpolation.

Ordre des abscisses. Échanger deux abscisses échange deux lignes de la matrice et change le signe du déterminant. La valeur absolue reste la même, et le caractère nul ou non nul ne change pas. Il faut conserver l'ordre choisi lorsque l'on compare deux calculs signés.

Convention de présentation. Certains textes placent les puissances en lignes plutôt qu'en colonnes : la matrice obtenue est la transposée. Son déterminant est identique. Avant de conclure qu'une formule diffère, vérifiez l'orientation des indices et l'ordre des x_i.

Calcul numérique. Un déterminant mathématiquement non nul ne garantit pas un calcul stable lorsque des abscisses sont très proches ou que le degré est élevé. Des coefficients très sensibles aux arrondis signalent ce problème ; une autre base polynomiale ou une méthode d'interpolation adaptée est alors préférable.

Le déterminant de Vandermonde ouvre naturellement sur l'interpolation polynomiale : son produit de différences explique pourquoi des abscisses distinctes fixent un unique polynôme de degré au plus n − 1.

Le mémoire de 1771 invite aussi à suivre une autre histoire, celle des permutations de racines puis des groupes de substitution. Cet héritage conduit aux développements ultérieurs associés à Galois et Jordan.