AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
Polynôme symétrique (élémentaire)
Un polynôme symétrique en n variables est un polynôme invariant par toute permutation des variables. Pour 1 ≤ k ≤ n, le polynôme symétrique élémentaire e_k est la somme des produits de k variables distinctes parmi les n variables. Le théorème fondamental des polynômes symétriques affirme que tout polynôme symétrique peut s'exprimer de façon unique comme polynôme en les polynômes symétriques élémentaires. Ce théorème est utilisé dans les relations entre racines et coefficients d'un polynôme (formules de Viète).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître l'invariance d'un polynôme sous toutes les permutations de ses variables.
- Construire e_1, e_2 et e_3 à partir des valeurs 2, 3 et 5.
- Réécrire un polynôme symétrique en fonction des polynômes élémentaires.
- Retrouver les coefficients d'un polynôme unitaire grâce aux formules de Viète.
- Éviter de confondre polynôme symétrique et polynôme symétrique élémentaire.
En clair
Prenez trois nombres, par exemple 2, 3 et 5, puis mélangez leur ordre. La somme 2 + 3 + 5 reste 10. La somme des produits pris deux par deux reste aussi 31, quel que soit l'ordre choisi.
Un polynôme symétrique possède cette indifférence à l'étiquette des variables. Les polynômes symétriques élémentaires organisent les combinaisons essentielles : variables seules, produits par paires, puis produits de trois variables, et ainsi de suite.
Définition
Soit P un polynôme en n variables x1, …, xn, à coefficients dans un anneau commutatif. Il est symétrique lorsque sa valeur formelle ne change sous aucune permutation des variables. Si σ désigne une permutation des indices 1 à n, cette condition s'écrit :
Pour chaque entier k compris entre 1 et n, le k-ième polynôme symétrique élémentaire, noté ek, additionne tous les produits de k variables distinctes :
Ainsi, e1 est la somme des variables et en leur produit. Chaque ek est symétrique, mais un polynôme symétrique quelconque n'est pas nécessairement l'un de ces n polynômes particuliers.
Le théorème fondamental affirme qu'il existe un unique polynôme Q tel que P = Q(e1, …, en). Pour des racines r1, …, rn, le développement du polynôme unitaire associé fait alterner les signes :
C'est le lien avec les formules de Viète.
De quoi c'est fait
La structure repose sur quatre ingrédients. Les n variables forment les objets que l'on peut permuter. Le groupe symétrique rassemble toutes les permutations de leurs indices. Le polynôme P porte les coefficients et les exposants ; sa symétrie dépend de l'action de ce groupe, non de l'ordre dans lequel ses termes sont écrits. Enfin, les n polynômes e1, …, en servent de générateurs.
Le rang k de ek fixe la taille des groupes de variables multipliées : il y a autant de termes que de choix de k variables parmi n. Les valeurs de e1, …, en dépendent donc des variables, tandis que le théorème fondamental garantit que ces seules données suffisent à reconstruire tout polynôme symétrique sous la forme unique Q(e1, …, en).
Un exemple, pas à pas
Prenons trois variables x, y et z auxquelles on donne respectivement les valeurs 2, 3 et 5. La décomposition en choix d'une, deux ou trois variables permet de refaire chaque calcul.
1. Variables seules. Le premier polynôme élémentaire vaut :
2. Produits par paires. Les trois paires donnent :
3. Produit des trois variables. Il reste un seul choix :
4. Réécriture. Pour le polynôme symétrique P = x2 + y2 + z2, l'identité P = e12 − 2e2 donne 102 − 2 × 31 = 38. Le calcul direct 22 + 32 + 52 donne aussi 38.
5. Contrôle par Viète. Les mêmes nombres sont les racines de :
Les coefficients retrouvent successivement e1 = 10, e2 = 31 et e3 = 30, avec les signes alternés.
En pratique
Pour simplifier une expression qui ne change pas quand on permute ses variables, on cherche une écriture en e1, …, en. Cette voie est préférable au développement direct lorsque de nombreux termes se regroupent par symétrie ; pour une expression courte non symétrique, le calcul direct reste plus naturel.
Lorsque les racines d'un polynôme unitaire sont connues, leurs sommes et produits élémentaires donnent ses coefficients par les formules de Viète. Inversement, si seuls les coefficients sont disponibles, ces relations fournissent les valeurs de ek sans calculer chaque racine séparément.
Pour tester la symétrie, on permute formellement les variables et on compare les polynômes obtenus. Vérifier les échanges de variables adjacentes suffit, car ces échanges engendrent toutes les permutations ; une seule substitution numérique ne constitue pas une preuve.
À ne pas confondre
Polynôme symétrique et polynôme symétrique élémentaire. Le premier est invariant sous toutes les permutations ; le second est l'un des polynômes ek qui additionnent les produits de k variables distinctes. Ainsi, x2 + y2 est symétrique, mais ce n'est ni e1 = x + y ni e2 = xy.
Symétrie totale et invariance sous un seul échange. Un polynôme en trois variables peut rester inchangé quand on échange x et y sans être symétrique. Par exemple, x + y ne change pas sous cet échange, mais devient z + y lorsque x et z sont échangées. Le critère porte bien sur toutes les permutations.
Limites et pièges
Une vérification numérique ne suffit pas. Deux expressions différentes peuvent prendre la même valeur pour x = 2, y = 3 et z = 5. Le symptôme est une conclusion tirée d'un seul triplet ; il faut comparer les polynômes formellement sous les permutations.
Les indices ont des bornes. En n variables, les générateurs utiles sont e1 à en. On adopte souvent e0 = 1 et ek = 0 pour k > n, mais ce sont des conventions à annoncer. Avec trois variables, il n'existe aucun produit de quatre variables distinctes.
Les formules de Newton demandent de surveiller les coefficients. Elles relient sommes de puissances et polynômes élémentaires. Sur un corps de caractéristique positive, isoler ek peut exiger une division par k impossible lorsque k est nul dans ce corps. L'identité doit alors être conservée sans cette division.
Pour aller plus loin
La fiche formule de Viète prolonge le calcul en reliant systématiquement les coefficients d'un polynôme aux sommes et produits de ses racines.
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