AlgèbreNotion · Glossaire
fonctions symétriques des racines
Les fonctions symétriques des racines d'un polynôme sont les expressions polynomiales en ses racines qui ne changent pas lorsqu'on les permute. Lorsque les racines sont comptées avec multiplicité dans un corps où le polynôme se décompose, les fonctions symétriques élémentaires se lisent dans ses coefficients par les formules de Viète, et toute expression polynomiale symétrique est un polynôme en ces fonctions élémentaires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Comprendre l'invariance d'une expression lorsque les racines changent d'ordre.
- Lire e₁, e₂ et e₃ dans les coefficients de x³ − 6x² + 11x − 6.
- Vérifier les valeurs 6, 11 et 6 avec les racines 1, 2 et 3.
- Calculer la somme des carrés des racines sans les résoudre séparément.
- Éviter les erreurs de signe, de coefficient dominant, de multiplicité et de symétrie.
En clair
Imaginez trois racines écrites sur des cartes : 1, 2 et 3. Si les cartes changent de place, la liste ordonnée change, mais leur somme reste 6, leur produit reste 6 et la somme de leurs produits deux à deux reste 11. Ces résultats ne dépendent pas de l'ordre des racines : ils sont symétriques.
L'intérêt est que ces nombres se lisent directement dans les coefficients du polynôme x³ − 6x² + 11x − 6. On peut donc obtenir des informations collectives sur les racines sans commencer par les calculer une à une.
Définition
Une expression polynomiale en n variables est symétrique lorsqu'elle conserve la même valeur après toute permutation de ces variables. Pour les racines x1, …, xn, la première fonction symétrique élémentaire e1 est leur somme, la deuxième e2 est la somme de tous leurs produits deux à deux, et ek est la somme de tous les produits de k racines distinctes. La dernière, en, est le produit de toutes les racines.
Si le polynôme de degré n s'écrit anxn + an−1xn−1 + ⋯ + a0, avec an non nul, les formules de Viète donnent : , pour k allant de 1 à n. Les signes alternent : e1 = −an−1/an, e2 = an−2/an, puis e3 = −an−3/an.
Le théorème fondamental des polynômes symétriques affirme que toute expression polynomiale symétrique se réécrit de manière unique comme un polynôme en e1, …, en. Les identités de Newton fournissent notamment des relations récursives entre ces fonctions élémentaires et les sommes de puissances pm = x1m + ⋯ + xnm.
Un exemple, pas à pas
Étudions le polynôme f(x) = x³ − 6x² + 11x − 6, dont les racines sont notées x1, x2 et x3. Le coefficient dominant vaut 1.
1. Lisons les trois fonctions symétriques élémentaires dans les coefficients : e1 = −(−6)/1 = 6, e2 = 11/1 = 11 et e3 = −(−6)/1 = 6.
2. Factorisons pour contrôler ces valeurs : f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3). Les racines sont donc 1, 2 et 3. Leur somme vaut 1 + 2 + 3 = 6, leurs produits deux à deux donnent 1 × 2 + 1 × 3 + 2 × 3 = 2 + 3 + 6 = 11, et leur produit vaut 1 × 2 × 3 = 6. La figure met en regard ces trois calculs et les trois coefficients correspondants.
3. Utilisons ces seules valeurs pour calculer une autre expression symétrique. Comme (x1 + x2 + x3)² = x1² + x2² + x3² + 2(x1x2 + x1x3 + x2x3), on obtient x1² + x2² + x3² = e1² − 2e2 = 6² − 2 × 11 = 14.
4. Vérifions avec les racines : 1² + 2² + 3² = 1 + 4 + 9 = 14. Le calcul par les coefficients et le calcul direct coïncident.
En pratique
Pour obtenir la somme ou le produit des racines, il n'est généralement pas nécessaire de résoudre l'équation. Repérez d'abord le degré et le coefficient dominant, puis appliquez le signe alterné de Viète au coefficient recherché. Pour ax² + bx + c, la somme vaut −b/a et le produit vaut c/a.
Pour calculer une expression comme la somme des carrés des racines, réécrivez-la à l'aide des fonctions élémentaires. Dans l'exemple conducteur, la relation e1² − 2e2 donne immédiatement 14 sans avoir besoin de connaître séparément les trois racines.
Un contrôle rapide consiste à vérifier le signe et l'homogénéité : ek associe des produits de k racines et correspond au coefficient situé k rangs après le coefficient dominant. Cette lecture évite de confondre la somme des racines avec la somme de leurs produits deux à deux.
À ne pas confondre
Fonction symétrique et fonction paire. Une fonction paire, définie sur un domaine stable par x ↦ −x, vérifie g(−x) = g(x) pour toute valeur x de ce domaine. Une fonction symétrique de plusieurs racines reste inchangée lorsqu'on permute ces racines. Le mot « symétrique » ne désigne donc pas ici une symétrie de courbe par rapport à un axe.
Fonction symétrique et fonction symétrique élémentaire. La somme des carrés x1² + x2² + x3² est symétrique, mais elle ne fait pas partie de la liste élémentaire e1, e2, e3. Elle se réécrit cependant e1² − 2e2.
Identités de Newton et théorème fondamental. Les identités de Newton relient les sommes de puissances aux fonctions symétriques élémentaires. L'affirmation selon laquelle tout polynôme symétrique se réécrit de façon unique en fonction des éléments e1, …, en est le théorème fondamental des polynômes symétriques.
Limites et pièges
Coefficient dominant. Les quotients de Viète exigent un coefficient dominant non nul. Si le polynôme n'est pas unitaire, oublier la division par an fausse toutes les valeurs. Dans 2x² − 6x + 4, la somme des racines est 3, et non 6.
Multiplicités. Les racines sont comptées avec leur multiplicité. Pour (x − 2)²(x − 3), la liste est 2, 2, 3 : la somme vaut 7 et le produit vaut 12. Ne conserver qu'une fois chaque valeur distincte détruirait les relations avec les coefficients.
Corps des racines. Les relations de Viète restent valables lorsque certaines racines ne sont pas réelles, à condition de les considérer dans un corps où le polynôme se décompose en facteurs linéaires. Les fonctions symétriques élémentaires reviennent pourtant aux coefficients du polynôme de départ.
Expression non symétrique. Une quantité telle que x1 − x2 change de signe si l'on échange les deux racines. Elle ne peut donc pas être déterminée par les seuls coefficients sans ajouter une convention qui distingue les racines.
Pour aller plus loin
La formule de Viète approfondit les relations entre coefficients et racines utilisées dans chaque degré.
Le polynôme symétrique élémentaire présente le cadre général des expressions invariantes par permutation de leurs variables.
La fonction polynôme permet de revoir les coefficients, le degré et les racines sur lesquels reposent ces relations.
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