polynôme d'Euler

Écrivez successivement 1, puis x − 1/2, puis x² − x : ces expressions sont les trois premiers polynômes d’Euler. Chacun est une fonction de x, mais tous appartiennent à une même famille gouvernée par une seule fonction génératrice.

Cette famille transforme ainsi une série entière en une suite organisée de polynômes. Ses membres se répondent par dérivation, par translation et par symétrie autour de x = 1/2. Ces relations rendent les calculs contrôlables sans reconstruire chaque polynôme depuis le début.

Pour chaque entier naturel n, le polynôme d’Euler d’indice n est noté E_n(x). La variable x peut être réelle ou complexe. Toute la suite est définie par la fonction génératrice exponentielle suivante, développée au voisinage de t = 0 :Autrement dit, E_n(x) est le coefficient de tⁿ/n! dans cette série.

Cette définition donne E₀(x) = 1, E₁(x) = x − 1/2 et E₂(x) = x² − x. Pour n au moins égal à 1, la dérivée vérifie $E_n^{\mathrm{\prime }}(x)=n{E}_{n-1}(x)E\_n\text{'}(x)=nE\_\{n-1\}(x)$. La translation d’une unité fournit $E_n(x+1)+E_n(x)=2x^{n}E\_n(x+1)+E\_n(x)=2x^n$, tandis que la réflexion autour de 1/2 donne $E_n(1-x)=(-1{)}^n{E}_n(x)E\_n(1-x)=(-1)^nE\_n(x)$.

Les valeurs en x = 1/2 relient cette famille aux nombres d’Euler selon une convention classique : si les nombres E_n sont définis par le développement de 1/cosh(t), alors $E_n(1\mathrm{/}2)=E_n\mathrm{/}{2}^{n}E\_n(1/2)=E\_n/2^n$. La convention choisie pour les nombres d’Euler doit donc être vérifiée avant de comparer deux références.

On rencontre les polynômes d’Euler dans des textes où une suite entière de polynômes est condensée dans une fonction génératrice. Quatre marqueurs les signalent : la notation E_n(x), le quotient 2e^xt/(e^t + 1), une symétrie autour de 1/2 et une relation entre les valeurs en x et x + 1.

Ils apparaissent notamment dans des formules sommatoires portant sur des alternances de signes et dans l’interpolation de certaines fonctions arithmétiques. Le support peut être une série entière, une identité de polynômes ou un tableau de valeurs ; l’indice n indique toujours quel membre de la suite est utilisé.

La grandeur à lire est la valeur du polynôme d’indice n au point x. 1. Repérez d’abord l’indice n : il fixe le degré. 2. Identifiez ensuite la variable x et le point où elle est évaluée. 3. Vérifiez la convention de fonction génératrice, car elle fixe la normalisation de toute la suite. 4. Contrôlez enfin le résultat avec une identité de translation ou de symétrie.

Le symbole E peut tromper l’œil : E_n(x) désigne ici un polynôme, tandis que E_n sans variable peut désigner un nombre d’Euler. Le bon réflexe consiste à rechercher la variable et la fonction génératrice annoncée. La figure associée à E₂ montre aussi que la symétrie autour de 1/2 donne des valeurs égales, et non nécessairement positives.

Calculons le deuxième polynôme d’Euler au point x = 1/4. Les données sont l’indice n = 2, le polynôme E₂(x) = x² − x et le point x = 1/4.

1. Remplaçons x par 1/4.
2. Élevons 1/4 au carré : (1/4)² = 1/16.
3. Soustrayons 1/4, soit 4/16.La valeur exacte cherchée est donc −3/16.

La symétrie fournit un contrôle indépendant. Comme l’indice 2 est pair, E₂(1 − x) = E₂(x). Au point symétrique 3/4, le calcul donne 9/16 − 12/16 = −3/16. Les deux valeurs coïncident exactement, comme le montre la courbe de E₂ entre 0 et 1.

Pour calculer plusieurs polynômes successifs, la fonction génératrice organise tous les coefficients dans un même développement. Une récurrence est souvent préférable lorsque seuls quelques indices consécutifs sont nécessaires.

Dans une somme alternée de puissances, la relation E_n(x + 1) + E_n(x) fait apparaître le terme 2xⁿ. Elle est adaptée quand les signes alternent ; les polynômes de Bernoulli sont, eux, associés aux différences ordinaires et aux sommes de puissances sans cette alternance.

Pour vérifier un calcul symbolique, la dérivée contrôle le passage d’un indice au précédent et la symétrie compare deux points équidistants de 1/2. Ces tests repèrent rapidement un coefficient ou un signe erroné.

Polynômes de Bernoulli. Leur fonction génératrice comporte le facteur t/(e^t − 1), alors que celle des polynômes d’Euler comporte 2/(e^t + 1). Une somme de puissances ordinaire oriente vers Bernoulli ; une structure alternée oriente souvent vers Euler.

Nombres d’Euler. Ce sont des constantes indexées, sans variable x. Les polynômes E_n(x) dépendent de x ; certaines de leurs valeurs particulières redonnent des nombres d’Euler après normalisation. Ainsi E₂(1/2) = −1/4, tandis que le nombre d’Euler correspondant vaut −1 avec la convention issue de 1/cosh(t).

Convention des nombres d’Euler. Plusieurs suites portent ce nom. Le symptôme est un signe, un décalage d’indice ou un facteur 2ⁿ inattendu. Il faut repartir de la fonction génératrice donnée par la référence avant d’identifier une valeur spéciale.

Indice zéro. La relation de dérivation ne se lit pas avec un indice négatif : elle vaut pour n ≥ 1. Au cas charnière n = 0, E₀(x) = 1 et sa dérivée est simplement nulle.

Série et polynômes. La fonction génératrice est développée en série autour de t = 0, mais chaque coefficient E_n(x) est bien un polynôme en x. Il ne faut pas traiter E_n(x) comme une approximation obtenue en tronquant arbitrairement la série.

Les nombres d’Euler éclairent les valeurs des polynômes au point x = 1/2 et les précautions de convention nécessaires.

On peut aussi prolonger l’étude en démontrant les identités de dérivation, de translation et de symétrie directement à partir de la fonction génératrice. Cette démarche montre comment une égalité entre séries se transforme, coefficient par coefficient, en une famille d’identités polynomiales.