polynôme d'Hermite

Imaginez une cloche gaussienne centrée en zéro. Les polynômes d'Hermite forment une famille de courbes ajustée à ce poids : quand on multiplie deux membres différents par la cloche et que l'on additionne leurs produits sur toute la droite, les zones positives et négatives se compensent exactement.

Chaque nouvel élément se construit à partir des deux précédents. Les premiers sont 1, 2x, 4x² − 2 et 8x³ − 12x dans la convention dite des physiciens.

Dans la convention des physiciens, le polynôme d'Hermite d'indice naturel n est noté H_n. La suite est orthogonale sur la droite réelle pour le poids gaussien e^−x² : si m et n sont deux indices distincts, l'intégrale du produit H_m(x)H_n(x)e^−x² sur ℝ est nulle. Plus précisément : ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{H}_m(x)H_n(x)e^{-x^2}dx=2^{n}n!\sqrt{\pi }{\delta }_{mn}\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}H\_m(x)H\_n(x)e^\{-x^2\}\backslash ,dx=2^n\; n!\backslash sqrt\{\backslash pi\}\backslash ,\backslash delta\_\{mn\}$, où le symbole δ_mn vaut 1 lorsque m = n et 0 sinon.

La formule de Rodrigues compatible avec ce poids et cette normalisation est : Avec H₀(x) = 1 et H₁(x) = 2x, elle conduit à la récurrence $H_{n+1}(x)=2x{H}_n(x)-2n{H}_{n-1}(x)H\_\{n+1\}(x)=2xH\_n(x)-2nH\_\{n-1\}(x)$ pour n ≥ 1. Chaque H_n est aussi une solution polynomiale de $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-2x{y}^{\mathrm{\prime }}+2ny=0y\text{'}\text{'}-2xy\text{'}+2ny=0$.

Une seconde normalisation, dite des probabilistes, emploie souvent la notation He_n, le poids e^−x²/2 et la formule de Rodrigues contenant e^x²/2. Elle ne vérifie pas la même récurrence. Les deux familles décrivent la même structure après un changement d'échelle, mais leurs coefficients ne doivent pas être mélangés.

La famille repose sur cinq éléments liés. L'indice naturel n fixe le degré du polynôme. La variable réelle x est son argument. Le poids gaussien e^−x² définit le produit scalaire et donne un sens précis à l'orthogonalité. Les valeurs initiales H₀ = 1 et H₁ = 2x fixent la normalisation. Enfin, la récurrence combine les deux polynômes précédents pour produire le suivant.

Le poids et la normalisation déterminent ensemble les coefficients : changer l'un sans adapter l'autre rompt les formules. La récurrence, la formule de Rodrigues et l'équation différentielle sont trois caractérisations compatibles de la même famille des physiciens. Ces données suffisent à construire chaque H_n, à vérifier son degré et à calculer ses produits scalaires. La couleur, l'échelle ou le tracé d'une courbe ne font pas partie de la définition.

Construisons H₂ puis H₃ dans la convention des physiciens. Les données sont H₀(x) = 1, H₁(x) = 2x et la récurrence H_n+1(x) = 2xH_n(x) − 2nH_n−1(x).

1. Pour n = 1, remplaçons les deux polynômes connus : $H_2(x)=2x(2x)-2(1)(1)=4x^2-2H\_2(x)=2x(2x)-2(1)(1)=4x^2-2$.

2. Pour n = 2, utilisons H₂ et H₁ : $H_3(x)=2x(4x^2-2)-4(2x)=8x^3-12xH\_3(x)=2x(4x^2-2)-4(2x)=8x^3-12x$. La figure conserve les deux contributions de chaque calcul avant leur réduction.

3. Contrôlons les degrés et les termes dominants. H₂ est de degré 2 avec coefficient dominant 4 = 2², tandis que H₃ est de degré 3 avec coefficient dominant 8 = 2³.

4. Vérifions l'équation différentielle pour H₂. Ses dérivées sont H′₂(x) = 8x et H″₂(x) = 8. Alors 8 − 2x(8x) + 4(4x² − 2) = 0 : le résultat satisfait bien l'équation pour n = 2.

Pour calculer plusieurs polynômes successifs, partez de H₀ et H₁, puis appliquez la récurrence. Cette voie est préférable à des dérivations répétées lorsque seuls les coefficients sont recherchés ; la formule de Rodrigues reste utile pour établir des identités symboliques.

Pour intégrer une fonction multipliée par un poids gaussien, la quadrature de Gauss-Hermite remplace l'intégrale par une somme pondérée aux zéros d'un polynôme d'Hermite. Si le poids ou le domaine diffère, une autre famille orthogonale ou une quadrature adaptée convient mieux.

En physique mathématique, les fonctions obtenues en multipliant ces polynômes par une gaussienne interviennent dans l'oscillateur harmonique. Avant tout calcul, identifiez la convention utilisée dans la formule : le poids e^−x² signale généralement H_n, tandis que e^−x²/2 accompagne souvent He_n.

Polynômes d'Hermite et interpolation d'Hermite. La famille orthogonale est indexée par le degré et liée à un poids gaussien. L'interpolation d'Hermite construit au contraire un polynôme qui prend des valeurs et des dérivées prescrites en des points donnés. Imposer P(0) et P′(0) relève de l'interpolation, pas de la famille orthogonale.

Polynôme d'Hermite et matrice hermitienne. Une matrice hermitienne est égale à sa transposée conjuguée ; ce critère porte sur ses coefficients complexes. Un polynôme H_n se reconnaît plutôt à sa récurrence, son poids et sa normalisation. Le partage du nom ne crée aucune équivalence entre ces objets.

Conventions mélangées. La formule $(-1{)}^n{e}^{x^2\mathrm{/}2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2\mathrm{/}2}(-1)^n\; e^\{x^2/2\}\backslash frac\{d^n\}\{dx^n\}e^\{-x^2/2\}$ donne He₁(x) = x, alors que la récurrence des physiciens impose H₁(x) = 2x. Ce désaccord dès n = 1 est le symptôme le plus rapide. Il faut choisir une convention complète avant de poursuivre.

Orthogonalité sans poids. Les produits ne s'annulent pas par simple intégration des polynômes sur ℝ. Le domaine est toute la droite et le facteur e^−x² est indispensable dans la convention des physiciens. En son absence, l'intégrale diverge généralement ; il faut rétablir le produit scalaire pondéré.

Indice hors du cadre. La suite polynomiale décrite ici commence à n = 0 et utilise des indices entiers naturels. Remplacer n par un réel quelconque dans l'équation différentielle peut produire des solutions non polynomiales ; il faut alors parler de l'équation d'Hermite, non d'un membre de cette suite.

Calcul à grand degré. Les coefficients et les valeurs peuvent croître rapidement avec n, si bien qu'une évaluation directe développe de grands termes qui se compensent. Pour un calcul numérique, conservez la récurrence avec une normalisation adaptée plutôt que de développer tout le polynôme.

polynômes orthogonaux — Situer la famille d'Hermite parmi les bases adaptées à un produit scalaire pondéré.

variable gaussienne — Relier le poids exponentiel et la normalisation probabiliste à la loi gaussienne.