AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction d'échelle
En analyse multirésolution, une fonction d'échelle est une fonction de carré intégrable dont les translations entières engendrent un espace d'approximation de référence, tandis que ses dilatations dyadiques donnent les autres niveaux de résolution. Elle satisfait une équation de raffinement qui l'exprime comme une combinaison de copies dilatées et translatées, ce qui sert à construire des approximations emboîtées et, sous des conditions supplémentaires, des ondelettes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier dilatation, translation et filtre passe-bas dans l'équation de raffinement.
- Vérifier l'équation sur la fonction d'échelle de Haar.
- Distinguer fonction d'échelle, ondelette et simple changement d'échelle.
- Reconnaître l'effet d'une convention de normalisation différente.
En clair
Imaginez une image observée d'abord en petits carreaux, puis en carreaux deux fois plus larges. À chaque taille, on garde les grandes variations et on laisse de côté certains détails. Une fonction d'échelle joue le rôle d'un gabarit que l'on agrandit, rétrécit et déplace pour fabriquer ces vues successives.
Le même gabarit doit pouvoir se reconstruire à partir de copies deux fois plus resserrées. Les nombres qui pondèrent ces copies forment un filtre passe-bas : ils retiennent la tendance générale du signal.
Définition
Une fonction d'échelle, notée φ, engendre les espaces d'approximation d'une analyse multirésolution. Ses copies translatées décrivent une résolution donnée ; ses copies dilatées décrivent les résolutions voisines. Le facteur 2 correspond au cas dyadique, où l'échelle change par puissances de deux.
Elle vérifie une équation de raffinement. Pour tout nombre réel x, et pour des coefficients hk indexés par les entiers k, cette équation s'écrit :
Les coefficients hk constituent le masque de raffinement, associé à un filtre passe-bas. Leur normalisation dépend de la convention adoptée : certains auteurs placent un facteur √2 devant la somme. Pour obtenir une base d'ondelettes orthonormale, l'équation seule ne suffit pas ; il faut aussi des conditions d'orthogonalité et de normalisation. D'autres choix conduisent notamment à des splines ou à des systèmes non orthogonaux.
De quoi c'est fait
La structure repose sur quatre éléments. La fonction φ est le gabarit de base. La dilatation x ↦ 2x resserre ce gabarit et fait passer à une résolution plus fine. La translation par l'entier k place une copie au bon endroit. Enfin, le coefficient hk règle le poids de cette copie.
La somme des copies pondérées doit reproduire φ : le masque dépend donc de la fonction choisie, et la fonction est contrainte par son masque. Les translations à une même échelle engendrent un espace d'approximation ; la dilatation relie cet espace au suivant. Ces données suffisent à construire les approximations successives, mais pas toujours une base orthonormale d'ondelettes.
Un exemple, pas à pas
Prenons la fonction d'échelle de Haar. Elle vaut 1 sur l'intervalle [0, 1[ et 0 ailleurs. Dans la convention de la définition, les seules données non nulles sont h0 = 1 et h1 = 1.
1. La fonction φ(2x) vaut 1 lorsque 0 ≤ x < 1/2.
2. La fonction φ(2x − 1) vaut 1 lorsque 1/2 ≤ x < 1.
3. Les deux intervalles sont disjoints et leur réunion est [0, 1[.
4. Leur somme vaut donc 1 sur [0, 1[ et 0 ailleurs.
2. La fonction φ(2x − 1) vaut 1 lorsque 1/2 ≤ x < 1.
3. Les deux intervalles sont disjoints et leur réunion est [0, 1[.
4. Leur somme vaut donc 1 sur [0, 1[ et 0 ailleurs.
On obtient bien l'identité : . Le contrôle se refait en testant trois zones : x < 0, 0 ≤ x < 1 et x ≥ 1. La figure matérialise la partition de l'intervalle support en deux moitiés.
En pratique
En traitement du signal, on calcule des moyennes pondérées avec le filtre passe-bas pour obtenir une version moins détaillée. On préfère une transformée en ondelettes lorsque la localisation des changements compte davantage qu'une description seulement fréquentielle.
En compression d'image, les approximations grossières conservent les grandes structures, tandis que les coefficients d'ondelettes isolent les détails. Le nombre de niveaux se choisit selon le compromis observable entre taille du fichier et perte visuelle.
En analyse numérique, les fonctions d'échelle et les splines fournissent des approximations à plusieurs résolutions. Une spline est souvent préférable lorsque la régularité de l'interpolation est prioritaire ; une construction en ondelettes convient mieux si l'on veut séparer les échelles.
À ne pas confondre
Fonction d'échelle et ondelette. La fonction d'échelle décrit l'approximation à une résolution donnée ; l'ondelette décrit l'information ajoutée entre deux résolutions. Dans l'exemple de Haar, la première est constante et positive sur [0, 1[, tandis que l'ondelette change de signe entre les deux moitiés.
Fonction d'échelle et changement d'échelle. Le changement x ↦ 2x est une opération appliquée à une fonction. Une fonction d'échelle est le gabarit particulier qui satisfait une équation de raffinement et engendre des espaces d'approximation. Dilater une fonction quelconque ne lui confère pas cette propriété.
Limites et pièges
Une équation ne garantit pas tout. Satisfaire une relation de raffinement ne suffit pas à produire une base orthonormale. Si les translations de φ ne sont pas orthonormales, il faut accepter un autre cadre, par exemple biorthogonal, ou imposer des conditions supplémentaires au masque.
La normalisation varie. Dans la convention sans facteur extérieur, la fonction de Haar utilise h0 = h1 = 1. Avec un facteur √2 devant la somme, les mêmes poids deviennent 1/√2. Comparer les coefficients sans vérifier la convention crée donc une contradiction seulement apparente.
Le bord de l'intervalle compte. Pour Haar, écrire [0, 1] au lieu de [0, 1[ modifie une valeur ponctuelle. Cela ne change pas la fonction comme élément de l'espace des fonctions de carré intégrable, où deux fonctions égales presque partout sont identifiées, mais cela peut fausser un contrôle point par point.
Pour aller plus loin
La fiche ondelette montre comment les détails complètent les approximations engendrées par la fonction d'échelle.
L'article À la base du traitement du signal replace filtres et décomposition en fréquences dans leur contexte d'utilisation.
La fiche spline cubique prolonge le rôle des fonctions régulières par morceaux dans l'approximation et l'interpolation numériques.
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