approximation de Galerkin

Imaginez une courbe inconnue décrite par une équation, mais impossible à calculer directement en chacun de ses points. On choisit alors quelques formes simples et l’on cherche leur meilleur dosage. La règle de Galerkin règle les coefficients pour que l’erreur restante soit invisible lorsqu’on la confronte aux mêmes formes de test. Le problème continu devient ainsi un nombre fini d’équations sur ces coefficients. En ajoutant des formes bien choisies, on peut généralement affiner l’approximation.

On part d’une formulation faible : dans un espace de fonctions V, il faut trouver une fonction u telle qu’une forme bilinéaire a vérifie $a(u,v)=\mathrm{\ell }(v)a(u,v)=\backslash ell(v)$ pour toute fonction test v de V. La forme linéaire ℓ représente les données du problème. Cette écriture couvre notamment de nombreuses équations différentielles et intégrales.

La méthode choisit un sous-espace V_h de dimension finie inclus dans V. Elle cherche une fonction u_h dans V_h telle que $a(u_h,v_h)=\mathrm{\ell }(v_h)\text{pour tout }{v}_h\in V_{h}a(u\_h,v\_h)=\backslash ell(v\_h)\backslash quad\backslash text\{pour\; tout\; \}v\_h\backslash in\; V\_h$. En soustrayant les deux formulations, on obtient l’orthogonalité de Galerkin : $a(u-u_h,v_h)=0\text{pour tout }{v}_h\in V_{h}a(u-u\_h,v\_h)=0\backslash quad\backslash text\{pour\; tout\; \}v\_h\backslash in\; V\_h$. Le mot « orthogonalité » se rapporte ici à la forme a ; il ne suppose pas toujours la distance euclidienne ordinaire.

Si les fonctions φ₁, …, φ_n forment une base de V_h, on écrit u_h comme une combinaison de ces fonctions. Les coefficients inconnus c_j satisfont alors le système fini Ce système possède une solution unique lorsque sa matrice est inversible. Des hypothèses comme la continuité et la coercivité de a assurent cette propriété dans le cadre classique.

On cherche une fonction u sur l’intervalle [0, 1] qui vérifie $-u^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=x-u\text{'}\text{'}(x)=x$, avec u(0) = u(1) = 0. Sa formulation faible demande ${\int }_0^1{u}^{\mathrm{\prime }}(x)v^{\mathrm{\prime }}(x)dx={\int }_0^{1}xv(x)dx\backslash int\_0^1u\text{'}(x)v\text{'}(x)\backslash ,dx=\backslash int\_0^1xv(x)\backslash ,dx$ pour toute fonction test v nulle aux deux bords. On choisit le sous-espace à une dimension engendré par la fonction φ définie par φ(x) = x(1 − x).

1. La solution approchée a la forme u_h(x) = cφ(x), où c est l’unique coefficient à déterminer. La fonction test de Galerkin est également φ.

2. Comme φ′(x) = 1 − 2x, le membre gauche vaut $c{\int }_0^1(1-2x{)}^{2}dx=\frac{c}{3}c\backslash int\_0^1(1-2x)^2\backslash ,dx=\backslash frac\{c\}\{3\}$.

3. Le membre droit vaut ${\int }_0^1{x}^2(1-x)dx=\frac{1}{12}\backslash int\_0^1x^2(1-x)\backslash ,dx=\backslash frac\{1\}\{12\}$. L’équation discrète c/3 = 1/12 donne donc c = 1/4.

4. L’approximation obtenue est u_h(x) = x(1 − x)/4. La solution exacte, calculée ici pour contrôler le résultat, est u(x) = (x − x³)/6. À x = 1/4, elles valent respectivement 3/64 et 5/128 : elles sont proches, mais différentes.

Le contrôle propre à Galerkin ne consiste pas à comparer tous les points. En remplaçant u_h dans la formulation faible avec le test φ, les deux membres valent exactement 1/12. Le résidu est donc orthogonal au sous-espace choisi, même si la courbe approchée n’est pas partout la courbe exacte.

En mécanique des structures, une déformation continue est remplacée par des fonctions définies sur un maillage. La méthode des éléments finis fournit précisément ces sous-espaces locaux. On raffine le maillage lorsque les déplacements ou les contraintes changent trop vite pour l’espace choisi.

Dans une simulation numérique, le calcul porte sur les coefficients de u_h, et non sur une infinité de valeurs indépendantes. Le système discret devient préférable à une résolution symbolique lorsque la géométrie, les données ou les conditions aux bords rendent la solution exacte inaccessible.

Pour contrôler un calcul, on vérifie d’abord que les fonctions choisies respectent les conditions imposées, puis que le résidu s’annule contre chaque fonction test. Si cette condition échoue, il faut corriger l’assemblage ou les intégrales avant d’augmenter la dimension de l’espace.

Approximation de Galerkin et méthode des éléments finis. Galerkin fixe la condition de projection sur un espace fini ; les éléments finis construisent cet espace avec des fonctions locales attachées à un maillage. L’exemple à une seule fonction globale est une approximation de Galerkin, mais pas une discrétisation usuelle par éléments finis.

Projection de Galerkin et interpolation. Une interpolation impose l’accord en des points ou sur des données prescrites. Galerkin impose l’annulation du résidu contre des fonctions test. Dans l’exemple, u_h et u coïncident en x = 1/2, mais cette coïncidence ponctuelle n’est pas la règle qui a déterminé c.

Méthode de Galerkin et collocation. La collocation force l’équation à être satisfaite en un nombre fini de points. Galerkin impose des identités intégrales. Un résidu peut donc être non nul en certains points tout en ayant une intégrale nulle contre toutes les fonctions test retenues.

Une petite dimension n’assure pas une bonne approximation. La condition de Galerkin sélectionne une réponse dans l’espace choisi, mais cet espace peut manquer les formes importantes de la solution. Le symptôme est une erreur qui demeure lors d’un contrôle indépendant ; il faut enrichir l’espace ou raffiner le maillage.

Le système discret peut être singulier. Si la matrice formée par les nombres a(φ_j, φ_i) n’est pas inversible, les coefficients ne sont pas déterminés de façon unique. Il faut alors vérifier les conditions aux bords, l’indépendance de la base et les hypothèses de stabilité, plutôt que choisir arbitrairement une solution.

« Orthogonal » ne signifie pas toujours « plus proche au sens usuel ». Si a est symétrique et définit un produit scalaire, u_h est une projection orthogonale pour la norme associée. Sans symétrie ou positivité, l’identité a(u − u_h, v_h) = 0 reste vraie, mais cette interprétation géométrique peut disparaître.

Faire croître l’espace ne suffit pas sans stabilité. Une suite d’espaces doit approcher les fonctions du problème, et les problèmes discrets doivent rester bien posés. Sinon, davantage de coefficients peuvent produire des systèmes mal conditionnés ou des solutions qui ne convergent pas vers u.

méthode des éléments finis — Pour voir comment un maillage fournit les sous-espaces de Galerkin utilisés en simulation numérique.

forme bilinéaire — Pour approfondir l’objet a qui transforme la formulation faible en système linéaire.

espace de Hilbert — Pour situer le cadre fonctionnel où normes, convergence et orthogonalité deviennent précises.

projection — Pour relier la condition de Galerkin à l’idée générale de projeter sur un sous-espace.