Solution faible

Imaginez une courbe tendue entre deux points. Un angle ou une irrégularité peut empêcher de calculer ses dérivées partout, alors que son comportement global reste exploitable. On multiplie l'équation par une fonction test régulière, puis on intègre. Une intégration par parties déplace les dérivées vers cette fonction test.

La fonction cherchée n'a donc plus besoin de satisfaire l'équation en chaque point. Elle doit vérifier toutes les identités intégrales imposées par les fonctions test. C'est cette exigence globale qui définit une solution faible.

Soit une équation linéaire dans laquelle l'opérateur différentiel est noté $LL$, la fonction inconnue $uu$ et le second membre $ff$. Une solution classique possède les dérivées requises et vérifie l'équation en chaque point. Une solution faible peut être moins régulière : l'équation est testée après intégration contre toute fonction test admissible $\phi \backslash varphi$.

Si $L^{\ast }L^*$ désigne l'opérateur transposé formel, la formulation au sens des distributions s'écrit avec la dualité : Le domaine, les conditions au bord et l'espace des fonctions test font partie de la formulation. Dans une formulation variationnelle, l'intégration par parties réduit souvent l'ordre des dérivées exigées sur $uu$.

Les espaces de Sobolev fournissent le cadre habituel, car ils décrivent les fonctions dont certaines dérivées faibles sont intégrables. Toute solution classique suffisamment régulière qui satisfait les mêmes conditions au bord et appartient aux espaces admissibles est faible. La réciproque demande des résultats de régularité et peut échouer : une solution faible n'a pas nécessairement les dérivées classiques requises par l'équation point par point.

Sur l'intervalle allant de 0 à 1, cherchons une fonction nulle aux deux extrémités qui vérifie l'équation −u″ = 1. Les données sont :
• l'intervalle [0,1] ;
• le second membre constant égal à 1 ;
• les conditions u(0) = u(1) = 0 ;
• la fonction test $\phi (x)=6x(1-x)\backslash varphi(x)=6x(1-x)$, également nulle aux extrémités.

1. Multiplions l'équation par la fonction test, puis intégrons par parties. Les termes de bord s'annulent. La formulation faible à vérifier devient :

2. Prenons la fonction candidate $u(x)=\frac{x(1-x)}{2}u(x)=\backslash frac\{x(1-x)\}\{2\}$. Ses dérivées premières sont $u^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1-2x}{2}u\text{'}(x)=\backslash frac\{1-2x\}\{2\}$ et ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)=6(1-2x)\backslash varphi\text{'}(x)=6(1-2x)$.

3. Calculons les deux membres séparément :

4. Les deux intégrales valent exactement 1 pour cette fonction test. Le contrôle complet consiste à refaire l'intégration par parties avec une fonction test admissible quelconque : comme u″ = −1 et que les termes de bord sont nuls, l'identité faible est satisfaite pour toutes ces fonctions. La candidate est donc une solution faible ; ici, elle est aussi une solution classique. Sa courbe parabolique relie les deux valeurs nulles du bord et atteint 1/8 au milieu de l'intervalle.

Pour une équation aux dérivées partielles, on choisit une formulation faible lorsque les données ou la géométrie ne garantissent pas des dérivées classiques. Le geste consiste à fixer l'espace de Sobolev, les fonctions test et les conditions au bord avant de chercher la solution.

Dans la méthode des éléments finis, on choisit des sous-espaces de dimension finie pour les fonctions d'essai et les fonctions test ; ils coïncident dans le cadre de Galerkin standard. On obtient alors un système d'équations pour approcher la solution faible. Une résolution classique point par point reste préférable si une formule régulière exacte est disponible et recherchée.

Pour établir l'existence et l'unicité, on étudie la forme intégrale obtenue. Dans un espace de Hilbert, le théorème de Lax-Milgram donne une solution faible unique lorsque la forme bilinéaire est continue et coercive, et que le second membre définit une forme linéaire continue. Sans ces hypothèses, un autre résultat ou une analyse spécifique est nécessaire.

Solution classique. Elle vérifie l'équation en chaque point et possède toutes les dérivées classiques demandées. Pour −u″ = 1, une fonction deux fois dérivable qui satisfait cette égalité partout est classique. Une solution faible n'offre pas forcément cette régularité.

Solution au sens des distributions et formulation variationnelle. Les deux cadres sont proches, mais leur écriture n'est pas toujours identique. Le premier déplace formellement toutes les dérivées sur des fonctions test très régulières. Le second répartit souvent les dérivées après intégration par parties et incorpore les conditions au bord dans les espaces choisis.

Solution numérique. Un vecteur de coefficients calculé par éléments finis approche généralement une solution faible dans un sous-espace. Il n'est pas, à lui seul, la solution faible exacte. Le résidu, le maillage et une estimation d'erreur permettent de trancher.

Existence non automatique. Écrire une identité intégrale ne prouve pas qu'une fonction la satisfait. Si les hypothèses d'un théorème d'existence manquent, il faut les établir, changer de cadre fonctionnel ou accepter qu'aucune solution n'existe.

Valeurs ponctuelles trompeuses. Dans de nombreux espaces de Sobolev, deux fonctions égales presque partout représentent le même élément. Modifier une valeur en un point ne change donc pas la solution faible. Les conditions ponctuelles ne doivent être utilisées que lorsqu'une trace ou un représentant régulier les rend définies.

Choix des tests et du bord. Une famille de fonctions test trop petite peut laisser passer de fausses candidates. Oublier les conditions au bord modifie aussi le problème. Il faut annoncer le domaine, l'espace de test et la manière dont les conditions au bord sont imposées.

Retour au sens classique. Une solution faible ne devient pointwise qu'après un résultat de régularité adapté à l'opérateur, au domaine et aux données. Dans l'exemple sur [0,1], la fonction u(x) = x(1−x)/2 est deux fois dérivable ; cette propriété ne se généralise pas à toute solution faible.

L'espace de Sobolev précise le cadre où une fonction et ses dérivées faibles possèdent l'intégrabilité requise.

La dérivée faible explique comment donner un sens intégral à une dérivée qui n'existe pas nécessairement en chaque point.

Le théorème de Lax-Milgram fournit un critère d'existence et d'unicité pour une large classe de formulations variationnelles.