espace de Sobolev

Tracez la courbe en V de la fonction qui associe à un nombre sa valeur absolue. Elle a une pointe en zéro : sa dérivée ordinaire n'y existe pas. Pourtant, sa pente vaut −1 à gauche et 1 à droite. Une dérivée faible accepte cette information, car la valeur en un point isolé ne change pas les intégrales.

Un espace de Sobolev rassemble ainsi des fonctions et mesure à la fois leur taille et celle de leurs dérivées faibles. Il accueille des courbes moins lisses que les espaces fondés sur les seules dérivées classiques.

Soit Ω un domaine de l'espace euclidien, soit m un entier naturel, et soit p un nombre réel au moins égal à 1. L'espace de Sobolev W^m,p(Ω) est l'ensemble des fonctions de Lᵖ(Ω) dont toutes les dérivées faibles d'ordre au plus m appartiennent aussi à Lᵖ(Ω). Une dérivée est dite faible lorsque l'identité d'intégration par parties qui caractérise une dérivée reste vraie contre toute fonction test lisse à support compact.

En notant α un multi-indice, D^αu la dérivée faible correspondante et |α| son ordre, une norme usuelle est :
Cette formule vaut pour p fini. Elle mesure simultanément la fonction et toutes les dérivées requises. Des normes équivalentes peuvent être choisies sans changer l'espace.

Muni de cette norme, W^m,p(Ω) est complet : c'est un espace de Banach. Lorsque p vaut 2, on écrit souvent H^m(Ω) ; la norme provient alors d'un produit scalaire, ce qui en fait un espace de Hilbert. Ce cadre sert notamment à formuler des solutions faibles d'équations aux dérivées partielles.

Quatre données structurent un espace de Sobolev. Le domaine Ω indique où vivent les fonctions. L'entier m fixe l'ordre maximal des dérivées faibles contrôlées. L'exposant p choisit la façon de mesurer leur taille par une norme Lᵖ. Enfin, la fonction u et chacune de ses dérivées faibles jusqu'à l'ordre m doivent appartenir à Lᵖ(Ω) : elles sont intégrables à la puissance p lorsque p est fini, et essentiellement bornées lorsque p = ∞.

Le domaine détermine les intégrales, tandis que m et p déterminent les contrôles imposés. Augmenter m demande davantage de régularité ; changer p modifie le mode d'intégrabilité. Ces éléments définissent l'appartenance à W^m,p(Ω). Le tracé particulier d'un représentant en quelques points ne la décide pas, car les fonctions Lᵖ qui diffèrent seulement sur un ensemble de mesure nulle sont identifiées.

Considérons l'intervalle Ω = (−1, 1), l'ordre m = 1, l'exposant p = 2 et la fonction u définie par u(x) = |x|. Il faut vérifier que u et sa dérivée faible sont de carré intégrable.

1. La fonction est continue, mais sa dérivée classique manque en zéro.
2. Sa dérivée faible v vaut −1 pour x négatif et 1 pour x positif ; sa valeur en zéro est sans effet sur les intégrales.
3. Le carré de u est x², donc ${\int }_{-1}^1\mathrm{\mid }u(x){\mathrm{\mid }}^{2}dx=\frac{2}{3}\backslash int\_\{-1\}^\{1\}|u(x)|^2\backslash ,dx=\backslash frac\{2\}\{3\}$.
4. Le carré de v vaut 1 presque partout, donc ${\int }_{-1}^1\mathrm{\mid }v(x){\mathrm{\mid }}^{2}dx=2\backslash int\_\{-1\}^\{1\}|v(x)|^2\backslash ,dx=2$.

Avec la norme usuelle de W^1,2, le calcul donne :
Les deux intégrales étant finies, u appartient à W^1,2((−1, 1)). Le contrôle se refait en additionnant 2/3 et 2 : le carré de la norme vaut bien 8/3.

Pour une équation aux dérivées partielles, on cherche souvent une fonction qui satisfait une identité intégrale plutôt que l'équation en chaque point. Un espace de Sobolev précise alors quelles fonctions candidates et quelles dérivées faibles sont admissibles.

En simulation numérique, les approximations par éléments finis sont comparées dans une norme de Sobolev. Une norme Lᵖ suffit si seule la taille de l'erreur compte ; une norme de Sobolev est préférable lorsque l'erreur sur les variations ou les gradients doit aussi être contrôlée.

En mécanique des fluides, la vitesse et ses dérivées interviennent ensemble. Le choix de m et de p traduit le degré de régularité et d'intégrabilité exigé par le modèle, au lieu de supposer partout des dérivées classiques.

Un espace de Sobolev n'est pas simplement un espace Lᵖ. Dans Lᵖ(Ω), seule l'intégrabilité de la fonction est exigée. Dans W^1,p(Ω), ses dérivées faibles du premier ordre doivent aussi appartenir à Lᵖ(Ω). Une fonction u appartenant à Lᵖ(Ω) n'appartient donc pas à W^1,p(Ω) si l'une de ses dérivées faibles du premier ordre n'existe pas ou n'appartient pas à Lᵖ(Ω).

Une dérivée faible n'est pas une dérivée classique définie point par point. La dérivée classique implique la dérivée faible sous des hypothèses adaptées, mais l'exemple u(x) = |x| montre que la réciproque échoue en zéro : la dérivée faible existe malgré la pointe.

Une singularité ponctuelle de la dérivée classique n'exclut pas automatiquement une fonction. Pour u(x) = |x|, le défaut en zéro ne change aucune intégrale : il faut tester la dérivée faible et son intégrabilité, non rejeter la fonction à cause de la pointe.

L'appartenance dépend de l'ordre demandé. La fonction |x| appartient à W^1,2((−1, 1)), mais pas à W^2,2((−1, 1)) : sa seconde dérivée au sens des distributions est concentrée en zéro et n'est pas une fonction L². Il faut donc toujours préciser m et p.

Une fonction de Sobolev est une classe de fonctions égales presque partout. Modifier une valeur isolée ne crée pas un nouvel élément et ne change pas la norme. Il ne faut donc pas tirer une conclusion d'une seule valeur ponctuelle sans disposer d'un représentant suffisamment régulier.

La notation H^m correspond au cas p = 2, pas à tous les espaces W^m,p. Lorsque p diffère de 2, l'espace demeure un espace de Banach, mais sa norme usuelle n'est pas celle d'un espace de Hilbert.

L'espace de Banach éclaire la propriété de complétude qui garantit que les suites de Cauchy convergent dans le cadre choisi.

L'espace de Hilbert approfondit le cas p = 2, où le produit scalaire apporte orthogonalité et méthodes de projection.