Lax-Milgram (théorème de)

Deux nombres x et y doivent satisfaire deux équations qui se répondent. Si le système ne s’aplatit dans aucune direction, une donnée imposée conduit à une seule paire possible. La coercivité exprime précisément cette résistance à l’aplatissement. La continuité empêche, elle, la relation de varier sans contrôle. Le théorème de Lax-Milgram étend cette garantie des systèmes de taille finie aux espaces de fonctions : une équation testée contre tous les vecteurs admet alors une solution unique.

Le théorème de Lax-Milgram est un résultat d’existence et d’unicité pour une équation variationnelle. On se place dans un espace de Hilbert réel H, c’est-à-dire un espace vectoriel complet muni d’un produit scalaire. Une forme bilinéaire a associe un nombre réel à deux vecteurs de H. Elle est continue s’il existe une constante M positive telle que $\mathrm{\mid }a(u,v)\mathrm{\mid }\le M\parallel u\parallel \parallel v\parallel |a(u,v)|\; \backslash leq\; M\backslash ,\backslash lVert\; u\backslash rVert\backslash ,\backslash lVert\; v\backslash rVert$ pour tous les vecteurs u et v.

La même forme est coercive s’il existe un nombre α strictement positif tel que $a(v,v)\ge \alpha \parallel v{\parallel }^{2}a(v,v)\; \backslash geq\; \backslash alpha\backslash ,\backslash lVert\; v\backslash rVert^2$ pour tout vecteur v. Cette borne interdit que la forme devienne trop petite dans une direction non nulle. La symétrie de a n’est pas exigée dans la version réelle du théorème.

Pour toute forme linéaire continue L sur H, il existe alors un unique vecteur u de H tel que $a(u,v)=L(v)a(u,v)=L(v)$ pour tout vecteur test v. La solution vérifie en outre $\parallel u\parallel \le \frac{\parallel L\parallel }{\alpha }\backslash lVert\; u\backslash rVert\; \backslash leq\; \backslash frac\{\backslash lVert\; L\backslash rVert\}\{\backslash alpha\}$. Dans l’étude d’une équation elliptique, H est souvent un espace de fonctions et u est une solution faible : l’équation est satisfaite sous sa forme intégrée plutôt que nécessairement point par point.

Soit H un espace de Hilbert réel. Supposons qu’une forme bilinéaire a soit continue avec une constante M et coercive avec une constante α strictement positive. Si L est une forme linéaire continue sur H, alors il existe un unique vecteur u dans H tel que :

Le vecteur v est un vecteur test, tandis que u est l’inconnue commune à toutes ces égalités. Le contrôle quantitatif $\parallel u\parallel \le \parallel L\parallel \mathrm{/}\alpha \backslash lVert\; u\backslash rVert\; \backslash leq\; \backslash lVert\; L\backslash rVert/\backslash alpha$ montre que la donnée L borne la taille de la solution.

Trois points sont à vérifier. L’espace H doit être un espace de Hilbert, donc complet. La forme a doit être bilinéaire et continue : une même constante M contrôle tous les couples de vecteurs. Elle doit aussi être coercive avec une constante α > 0 valable dans toutes les directions. Enfin, la donnée L doit être linéaire et continue. Ces hypothèses donnent un vecteur u unique et une estimation de sa norme.

La coercivité ne découle pas de la seule continuité. Dans ℝ², la forme a((x, y), (p, q)) = xp est continue, mais a((0, 1), (0, 1)) = 0. Avec la donnée L(p, q) = q, aucune paire (x, y) ne peut vérifier xp = q pour tous p et q. Lax-Milgram ne s’applique donc pas ; il faut étudier directement l’opérateur associé ou recourir à un autre critère d’inversibilité.

Prenons H = ℝ² avec sa norme euclidienne. Pour le vecteur inconnu u = (x, y) et le vecteur test v = (p, q), posons a(u, v) = (2x + y)p + (−x + 2y)q. La donnée est L(v) = 3p + q. La matrice associée et le second membre sont :

1. Pour tout u = (x, y), les termes croisés s’annulent : a(u, u) = 2x² + 2y² = 2‖u‖². La forme est donc coercive avec α = 2.

2. On calcule ‖Au‖² = (2x + y)² + (−x + 2y)² = 5x² + 5y². L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne |a(u, v)| ≤ √5‖u‖‖v‖ : la forme est continue avec M = √5.

3. Exiger a(u, v) = L(v) pour tout v revient à résoudre $2x+y=32x+y=3$ et $-x+2y=1-x+2y=1$. La première équation donne y = 3 − 2x ; la seconde conduit à 5x = 5.

4. La solution unique est u = (1, 1). Le contrôle direct donne Au = (3, 1), donc a(u, v) = 3p + q pour tout v. Enfin, ‖u‖ = √2 et ‖L‖/α = √10/2 ; l’estimation √2 ≤ √10/2 est bien vérifiée.

La transformation linéaire envoie ainsi le vecteur u = (1, 1) sur la donnée f = (3, 1). La figure conserve la même échelle dans les deux repères pour rendre ce calcul visible.

Pour une équation aux dérivées partielles elliptique, on commence par écrire une formulation faible : l’inconnue est une fonction et l’égalité est testée contre toutes les fonctions admissibles. Si la forme obtenue est continue et coercive, Lax-Milgram fournit immédiatement existence et unicité.

Dans une approximation par éléments finis, le même geste conduit à un système linéaire. Vérifier la coercivité avant de calculer garantit que la solution discrète ne possède pas de direction indéterminée. Si cette borne échoue, il faut examiner les conditions aux limites ou employer un critère adapté aux problèmes non coercifs.

L’estimation ‖u‖ ≤ ‖L‖/α sert aussi de contrôle de stabilité. Une petite constante α annonce une borne moins favorable : la solution peut être plus sensible à la taille de la donnée, même si le théorème assure encore son unicité.

Théorème de représentation de Riesz-Fréchet. Il représente une forme linéaire continue à l’aide du produit scalaire du Hilbert. Lax-Milgram remplace ce produit scalaire par une forme bilinéaire continue et coercive. Dans l’exemple, a n’est pas symétrique, donc ce n’est pas le produit scalaire usuel.

Matrice symétrique définie positive. En dimension finie, une telle matrice fournit une forme coercive, mais la symétrie n’est pas nécessaire à Lax-Milgram. La matrice A de l’exemple n’est pas symétrique, tandis que a(u, u) = 2‖u‖² reste strictement positif hors de l’origine.

Continuité seule. Une forme bilinéaire continue est seulement bornée au-dessus en valeur absolue. La coercivité ajoute une borne inférieure sur a(v, v). La forme a((x, y), (p, q)) = xp sépare nettement les deux propriétés : elle est continue mais s’annule dans la direction (0, 1).

Constante de coercivité nulle. Une inégalité avec α = 0 ne suffit pas. Le symptôme est une direction non nulle où a(v, v) s’annule, comme (0, 1) pour la forme xp. Il faut rechercher une coercivité sur un sous-espace approprié ou changer de théorème.

Solution faible et régularité. Lax-Milgram livre une solution dans l’espace de Hilbert choisi. Il ne garantit pas, à lui seul, que cette fonction possède assez de dérivées pour satisfaire l’équation point par point. Une conclusion de régularité exige des hypothèses supplémentaires.

Cadre complexe. Dans un espace de Hilbert complexe, la formulation usuelle porte sur une forme sesquilinéaire et la coercivité contrôle la partie réelle de a(v, v). Copier mot pour mot l’énoncé bilinéaire réel masque la conjugaison nécessaire.

Borne, pas valeur exacte. L’estimation ‖u‖ ≤ ‖L‖/α n’est généralement pas une égalité. Dans l’exemple, √2 est strictement inférieur à √10/2. Cette borne contrôle la solution, mais ne calcule pas sa norme exacte.

forme bilinéaire — Pour approfondir la linéarité séparée et les représentations matricielles utilisées dans l’énoncé.

espace de Hilbert — Pour préciser la complétude et la géométrie de l’espace où vit la solution.

Solution faible — Pour voir comment une équation différentielle devient une identité testée contre des fonctions admissibles.