AnalyseObjet mathématique · Glossaire
Coercive (fonction)
Une fonction f définie sur un espace normé est dite coercive si elle tend vers l'infini lorsque la norme de son argument tend vers l'infini, c'est-à-dire si f(x) tend vers plus l'infini quand la norme de x tend vers l'infini. Cette propriété garantit que les ensembles de sous-niveau de f sont bornés. Pour en déduire l'existence d'un minimum global, il faut aussi des hypothèses de régularité et de compacité, par exemple la continuité en dimension finie. La coercivité est fondamentale dans l'étude des problèmes de minimisation en calcul des variations et en analyse des équations aux dérivées partielles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Formuler le critère quantifié de coercivité dans un espace normé.
- Calculer un sous-niveau borné sur un exemple complet.
- Distinguer coercivité, convexité et minoration.
- Identifier les hypothèses supplémentaires nécessaires à l’existence d’un minimum.
En clair
Imaginez un paysage dont l’altitude augmente sans limite dès que l’on s’éloigne très loin du centre. Une fonction coercive se comporte ainsi : ses valeurs finissent par dépasser toute hauteur fixée lorsque la norme de son argument devient assez grande.
Ses zones situées sous une altitude donnée restent donc enfermées dans une région bornée. Cette barrière à l’infini aide à chercher un point le plus bas, mais l’existence effective de ce point demande aussi une propriété de régularité de la fonction.
Définition
Soit un espace normé E, muni d’une norme notée ‖·‖, et une fonction f définie sur E à valeurs réelles. La fonction f est coercive lorsque ses valeurs tendent vers +∞ dès que la norme de l’argument tend vers +∞. Autrement dit, pour toute hauteur réelle M, il existe un rayon R tel que tout point x vérifie le critère suivant : .
Pour un réel a, l’ensemble de sous-niveau de hauteur a rassemble les points x tels que f(x) ≤ a. La coercivité équivaut au fait que chacun de ces ensembles est borné : aucun point de valeur au plus a ne peut partir arbitrairement loin.
Cette propriété empêche une suite minimisante de s’échapper à l’infini. En dimension finie, une fonction continue et coercive atteint donc un minimum global. Plus généralement, il faut ajouter des hypothèses assurant qu’une suite bornée possède une limite exploitable et que la fonction ne saute pas vers le haut à cette limite.
De quoi c'est fait
La coercivité met en relation quatre éléments. L’espace normé fournit les points et une mesure de leur éloignement. La fonction attribue une valeur à chaque point. Les hauteurs fixent les seuils que la fonction doit finir par dépasser. Les ensembles de sous-niveau regroupent, pour chaque hauteur, les points qui restent sous ce seuil.
La norme commande donc ce que signifie « partir à l’infini », tandis que la fonction commande la croissance observée. Cette croissance rend chaque sous-niveau borné. Avec une hypothèse de régularité et une propriété de compacité appropriée, ces données permettent ensuite d’extraire d’une suite minimisante un point où le minimum est atteint. Le tracé ou l’échelle d’un graphique illustrent ce comportement, mais ne le définissent pas.
Un exemple, pas à pas
Considérons sur la droite réelle la fonction f définie par . Les données sont la norme usuelle |x|, le centre 2 de la parabole et la hauteur de sous-niveau 5.
1. On complète le carré : .
2. Lorsque |x| tend vers l’infini, (x − 2)2 tend vers +∞. La fonction f est donc coercive.
3. Le sous-niveau de hauteur 5 se calcule ainsi : .
4. Le résultat est l’intervalle borné [0, 4]. Le minimum global vaut 1 et il est atteint en x = 2. La courbe permet de voir simultanément ce fond et l’enfermement du sous-niveau 5.
Le contrôle est direct : f(2) = 1, tandis que f(0) = f(4) = 5. En dehors de [0, 4], le carré (x − 2)2 dépasse 4, donc f(x) dépasse 5.
En pratique
En optimisation sur un espace de dimension finie, on cherche d’abord à montrer que la fonction ne peut pas rester petite loin de l’origine. Si elle est continue et coercive, la recherche d’un minimum se ramène à une région bornée.
En calcul des variations, on étudie une suite de candidats dont les valeurs approchent la meilleure valeur possible. Une estimation coercive sert à borner cette suite. Si cette estimation manque, une méthode directe ne suffit pas et il faut obtenir une autre borne a priori.
Dans l’analyse des équations aux dérivées partielles, le mot apparaît aussi pour des formes bilinéaires. On vérifie alors une minoration quadratique précise ; si elle est satisfaite avec les autres hypothèses requises, le théorème de Lax-Milgram devient l’outil adapté.
À ne pas confondre
Coercive et bornée inférieure. En dimension finie, une fonction coercive et semi-continue inférieurement est bornée inférieure, mais l’inverse est faux. La fonction constante f(x) = 0 est bornée inférieure et ne tend pas vers +∞ quand |x| augmente.
Coercive et convexe. La coercivité décrit le comportement loin de l’origine ; la convexité compare les valeurs entre deux points. La fonction f(x) = x2 + 3 sin(x) est coercive sans être convexe partout.
Fonction coercive et forme bilinéaire coercive. Pour une fonction, on examine la limite à l’infini. Pour une forme bilinéaire a, on demande une constante positive α telle que a(x, x) ≥ α‖x‖2. Le critère à tester n’est donc pas le même.
Limites et pièges
La coercivité seule ne suffit pas toujours. Une fonction peut être coercive sans atteindre sa borne inférieure si elle manque de semi-continuité inférieure. Il faut donc vérifier cette régularité au lieu de conclure dès que les sous-niveaux sont bornés.
Dimension infinie. Un ensemble borné n’y est pas nécessairement compact. Pour la méthode directe, on travaille souvent dans un espace réflexif, avec la compacité faible des suites bornées et la semi-continuité inférieure faible de la fonction.
Un seul sous-niveau ne suffit pas. Dans l’exemple conducteur, le niveau charnière a = 1 donne le singleton {2}, et tout niveau a < 1 donne l’ensemble vide. La coercivité exige que chaque sous-niveau réel soit borné, pas seulement celui de hauteur 5.
Le choix de la norme doit être explicite. La phrase « x part à l’infini » signifie exactement que ‖x‖ tend vers +∞. Avant d’appliquer le critère, il faut identifier l’espace, sa norme et le domaine entier de la fonction.
Pour aller plus loin
norme — Précise la mesure d’éloignement utilisée dans la définition de la coercivité.
Minimum — Situe le résultat d’existence que les hypothèses de coercivité et de régularité rendent accessible.
forme bilinéaire — Éclaire l’autre emploi courant du mot « coercive » en analyse.
Lax-Milgram (théorème de) — Relie la coercivité d’une forme bilinéaire à l’existence et à l’unicité d’une solution.
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