fonction semi-continue

Imaginez une courbe qui vaut 1 partout, sauf en 0 où un point descend à la valeur 0. Cette marche vers le bas ne dérange pas la semi-continuité inférieure : près du point, les valeurs ne plongent pas sous sa valeur. En revanche, la semi-continuité supérieure refuse ce saut, car les valeurs voisines montent jusqu'à 1.

La notion ne supprime donc pas toutes les discontinuités. Elle n'en interdit qu'un sens, selon que l'on contrôle les chutes ou les hausses au voisinage du point.

Soit X un espace topologique, x₀ un point de X et f une fonction de X vers les réels étendus ℝ ∪ {−∞, +∞}. La fonction f est semi-continue inférieurement en x₀ lorsque sa limite inférieure au voisinage de x₀ n'est pas plus petite que f(x₀). En notant 𝒱(x₀) l'ensemble des voisinages de x₀, cette limite s'écrit :

Lorsque f(x₀) est finie, cela revient à dire que, pour tout réel ε strictement positif, un voisinage U de x₀ vérifie f(x) ≥ f(x₀) − ε pour chaque x de U. Sur tout X, la même propriété équivaut à l'ouverture de chaque ensemble {x ∈ X | f(x) > c}, ou à la fermeture de chaque sous-niveau {x ∈ X | f(x) ≤ c}, pour tout réel c. Ce critère par niveaux couvre aussi les valeurs infinies sans ambiguïté.

La semi-continuité supérieure inverse les inégalités : la limite supérieure au voisinage de x₀ est au plus f(x₀), et chaque ensemble {x ∈ X | f(x) < c} est ouvert. Une fonction est continue en x₀ exactement lorsqu'elle est à la fois semi-continue inférieurement et supérieurement en ce point.

La notion assemble cinq éléments. L'espace topologique X fournit les voisinages. La fonction f attribue à chaque point une valeur réelle, éventuellement infinie. Le point x₀ fixe l'endroit examiné. Les valeurs voisines alimentent la limite inférieure ou supérieure. Enfin, un niveau réel c découpe X en ensembles situés au-dessus ou au-dessous de ce seuil.

La topologie détermine quels points sont proches, donc elle détermine les limites possibles. Le choix du sens, inférieur ou supérieur, détermine ensuite quels ensembles de niveau doivent être ouverts. Ces données suffisent à tester la semi-continuité ; la couleur ou le tracé d'un graphe n'en font pas partie. L'épigraphe, ensemble des points placés au-dessus du graphe, fournit aussi un critère structurel : pour une fonction à valeurs réelles étendues, sa fermeture équivaut à la semi-continuité inférieure.

Sur la droite réelle munie de sa topologie habituelle, considérons la fonction f qui vaut 0 en x = 0 et 1 en tout point x différent de 0. Nous testons ses deux sens de semi-continuité.

Données :
espace X : ℝ ;
point examiné : x₀ = 0 ;
valeurs : f(0) = 0 et f(x) = 1 si x ≠ 0 ;
niveau de contrôle : c = 1/2.

1. Au niveau c = 1/2, l'ensemble où f est strictement supérieure à c vaut ℝ privé de {0}. Cet ensemble est ouvert.
2. Pour c < 0, le même ensemble vaut ℝ ; pour 0 ≤ c < 1, il vaut ℝ privé de {0} ; pour c ≥ 1, il est vide. Les trois formes sont ouvertes.
3. La fonction est donc semi-continue inférieurement sur ℝ.
4. En 0, tout voisinage contient des points non nuls où f vaut 1. La limite supérieure y vaut 1, qui n'est pas inférieur ou égal à f(0) = 0. La fonction n'est pas semi-continue supérieurement en 0.

Le contrôle se refait avec les sous-niveaux : {x | f(x) ≤ 1/2} = {0}, qui est fermé. Le graphe traduit le même verdict : le point bas en 0 est admis par le contrôle inférieur, mais il rompt le contrôle supérieur.

En optimisation, on cherche souvent un minimum. Sur un espace compact non vide, une fonction semi-continue inférieurement atteint sa plus petite valeur. Si le domaine n'est pas compact, il faut obtenir une compacité de remplacement, par exemple avec une hypothèse de coercivité.

En calcul des variations, une suite de candidats peut converger vers une limite. La semi-continuité inférieure garantit que l'énergie de la limite ne dépasse pas la limite inférieure des énergies. Combinée à un argument de compacité, cette inégalité aide à conserver un minimiseur.

Pour vérifier une fonction définie par morceaux, le critère des ensembles de niveau évite parfois un calcul de limite à chaque raccord. On choisit un seuil c, puis on contrôle l'ouverture des sur-niveaux pour le sens inférieur, ou celle des sous-niveaux stricts pour le sens supérieur.

Une fonction continue contrôle simultanément les deux sens. Sur ℝ muni de sa topologie usuelle, la fonction qui vaut 0 en 0 et 1 ailleurs est semi-continue inférieurement, mais elle n'est pas continue en 0 puisqu'elle n'y est pas semi-continue supérieurement.

La convexité compare les valeurs prises entre deux points ; la semi-continuité compare une valeur aux valeurs arbitrairement proches. Une fonction constante sur chacun de deux intervalles disjoints peut être semi-continue ; en revanche, elle ne relève pas de la définition usuelle d'une fonction convexe, qui suppose un domaine convexe.

Une valeur +∞ demande le bon critère. Soustraire ε à +∞ ne traduit pas correctement toutes les approches vers +∞. Pour une fonction à valeurs réelles étendues, il faut employer la limite inférieure ou l'ouverture de {x | f(x) > c} pour chaque niveau réel c.

Les suites ne suffisent pas dans tout espace topologique. Dans un espace métrique, tester toute suite convergeant vers x₀ caractérise la semi-continuité. Dans un espace topologique général, ce test peut manquer des comportements ; le critère par voisinages ou par ensembles de niveau reste valable.

Semi-continue ne signifie pas qu'un minimum existe partout. La fonction f(x) = e^x est continue, donc semi-continue inférieurement, sur ℝ ; son infimum vaut 0, mais aucune valeur de x ne le réalise. Il faut ajouter une hypothèse assurant la compacité des candidats pertinents.

La fiche fonction continue montre ce que l'on obtient lorsque les contrôles inférieur et supérieur sont tous deux satisfaits.

Le glossaire Épigraphe donne une lecture géométrique de la semi-continuité inférieure par la fermeture de la région au-dessus du graphe.

La notion de Minimum précise l'objectif dont l'existence est recherchée dans de nombreux problèmes d'optimisation.