AnalyseNotion · Glossaire
Topologie faible
La topologie faible sur un espace vectoriel normé E est la topologie la moins fine rendant continues toutes les formes linéaires continues sur E. Elle est moins fine que la topologie de la norme, ce qui signifie qu'il y a moins d'ouverts. Dans certains espaces, comme ℓ², des suites peuvent ainsi converger faiblement sans converger en norme. En dimension infinie, la topologie faible diffère de la topologie forte, et la compacité faible joue un rôle central dans l'analyse fonctionnelle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la topologie faible à partir du dual topologique.
- Reconnaître la convergence faible en testant les formes linéaires continues.
- Refaire l'exemple de la base canonique de ℓ².
- Distinguer topologie faible, topologie de la norme et topologie faible-étoile.
- Repérer les précautions liées à la dimension et à la compacité.
En clair
Imaginez une suite de vecteurs observée par des appareils très simples. Chacun ne renvoie qu'un nombre, obtenu par une forme linéaire continue. La suite se rapproche faiblement d'un vecteur lorsque chaque observateur finit par donner la valeur qu'il mesure sur ce vecteur.
Cette façon de regarder oublie une partie de l'information portée par la norme. Une suite peut donc se rapprocher faiblement de zéro tout en gardant des vecteurs de longueur constante. « Faible » décrit ainsi le nombre d'exigences imposées à la proximité, non la qualité des vecteurs.
Définition
Soit E un espace vectoriel normé réel ou complexe, et soit E′ son dual topologique, c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires continues de E vers le corps des scalaires. La topologie faible, notée , est la topologie la moins fine pour laquelle chaque élément de E′ reste continu.
Un voisinage faible d'un vecteur x0 peut être obtenu en choisissant un nombre fini de formes f1, …, fk dans E′ et un réel ε strictement positif :
Seules ces observations en nombre fini sont alors contraintes.
Une suite de vecteurs (xn) converge faiblement vers x si, pour toute forme f de E′, la suite de scalaires f(xn) converge vers f(x). Toute convergence en norme entraîne cette convergence faible. En dimension finie, les deux topologies coïncident ; en dimension infinie, elles peuvent différer.
Un exemple, pas à pas
Prenons l'espace réel ℓ2 des suites dont la somme des carrés est finie. Pour chaque entier n supérieur ou égal à 1, le vecteur en possède un 1 à la n-ième place et des 0 ailleurs. Données : la norme de chaque en vaut 1 ; un vecteur quelconque y a pour coordonnées y1, y2, …
1. Toute forme linéaire continue sur ℓ2 réel est le produit scalaire avec un unique vecteur y. On considère donc un observateur arbitraire de cette forme.
2. Sur en, cet observateur renvoie exactement la n-ième coordonnée de y :
3. Toute suite y de ℓ2 vérifie yn → 0. L'observation de en tend donc vers 0 pour chaque y, ce qui prouve que en converge faiblement vers le vecteur nul.
4. Contrôle : la distance en norme entre en et le vecteur nul reste égale à 1. La suite ne converge donc pas en norme. Le même calcul sépare nettement les deux modes de convergence.
En pratique
Pour tester une convergence faible, on ne cherche pas d'abord à faire diminuer les normes. On applique une forme linéaire continue arbitraire aux vecteurs, puis on étudie la convergence des nombres obtenus.
Lorsqu'une suite bornée ne possède pas de sous-suite convergente en norme, la convergence faible peut offrir une limite exploitable. Il faut toutefois établir la compacité faible du cadre considéré ; la seule bornitude ne suffit pas dans tout espace normé.
Dans un problème où l'on doit passer à la limite dans une quantité non linéaire, la convergence en norme reste souvent préférable. Une convergence faible ne contrôle directement que les formes linéaires continues ; la continuité faible de l'opération supplémentaire doit être vérifiée séparément.
À ne pas confondre
Topologie faible et topologie de la norme. La seconde mesure directement la norme de x − x0 ; la première teste toutes les formes linéaires continues. Dans ℓ2, la suite (en) converge faiblement vers 0, mais sa norme reste égale à 1.
Topologie faible et topologie faible-étoile. Sur le dual E′, la topologie faible utilise les formes linéaires continues sur E′, donc le bidual E″. La topologie faible-étoile teste seulement les évaluations provenant des vecteurs de E. Elles coïncident lorsque l'identification canonique de E à E″ est surjective, mais pas en général.
Limites et pièges
Dimension finie. Il n'y a alors pas deux notions distinctes de convergence à départager : la topologie faible et la topologie de la norme coïncident. Chercher un exemple comme (en) exige donc un espace de dimension infinie.
Normes et distances. De xn convergeant faiblement vers x, on ne peut pas conclure que la norme de xn − x tend vers 0. Il faut une hypothèse supplémentaire ou une preuve séparée ; la suite de base de ℓ2 fournit le contre-exemple.
Compacité et suites. Dans une topologie générale, vérifier seulement que toute suite possède une sous-suite convergente ne caractérise pas toujours la compacité. Pour la topologie faible d'un espace de Banach, l'équivalence est un résultat spécifique, et non une règle topologique universelle.
Choix du dual. La topologie dépend de la famille d'observateurs retenue. Oublier que E′ désigne ici le dual continu peut produire une autre topologie ; il faut toujours préciser l'espace, sa norme et les formes utilisées.
Pour aller plus loin
espace de Banach — Situer le cadre complet où compacité faible et passage à la limite deviennent des outils centraux.
Dual topologique — Identifier précisément la famille de formes linéaires continues qui engendre la topologie faible.
compacité - topologie - — Revoir la notion de compacité avant d'étudier sa version faible en analyse fonctionnelle.
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