théorème de Banach-Steinhaus

Imaginez une suite de machines linéaires. Pour chaque objet donné, leurs sorties finissent par se stabiliser. Le théorème affirme que, dans un espace suffisamment complet, cette stabilité objet par objet empêche les machines d'amplifier démesurément certaines petites variations cachées.

Toutes les machines obéissent alors à un même contrôle de continuité. Leur limite reste elle-même linéaire et continue. Sur tout ensemble compact d'objets, la stabilisation devient même uniforme : un même rang convient à tous les objets de cet ensemble.

Le théorème de Banach-Steinhaus, aussi nommé principe de la borne uniforme, porte sur une famille d'applications linéaires continues. Dans sa forme normée classique, l'espace de départ E est un espace de Banach, donc un espace vectoriel normé complet, et l'espace d'arrivée F est un espace vectoriel normé. Pour chaque entier n au moins égal à 1, l'application u_n envoie E dans F.

Si, pour chaque vecteur x de E, la suite des valeurs u_n(x) converge vers une valeur notée u(x), alors l'application limite u est linéaire et continue. La famille des u_n possède en outre une borne commune pour la norme d'opérateur :Autrement dit, il existe une constante M indépendante de n telle que ‖u_n(x)‖ ≤ M‖x‖.

Dans ce cadre normé, la borne commune des normes d'opérateur s'exprime aussi par l'équicontinuité. Cette propriété signifie que toute la famille partage un même contrôle local. Elle entraîne ici la convergence uniforme vers u sur chaque compact de E. Publié en 1927, le résultat est attribué à Stefan Banach et Hugo Steinhaus.

Soient E un espace de Banach et F un espace vectoriel normé. Si une suite d'applications linéaires continues u_n de E dans F converge simplement vers une application u, alors u est linéaire et continue. La famille formée par les u_n est équicontinue et la convergence vers u est uniforme sur tout compact de E. Dans ce cadre normé, l'équicontinuité se lit comme une borne commune des normes d'opérateur.

Trois vérifications précèdent l'application du théorème. L'espace de départ doit avoir la propriété de Baire ; un espace de Banach la possède. Chaque u_n doit être linéaire et continue. Enfin, pour chaque vecteur x fixé, la suite u_n(x) doit converger dans l'espace d'arrivée. La conclusion fournit alors un contrôle commun, et pas seulement une continuité différente pour chaque rang.

Sans l'hypothèse de Baire, la conclusion peut échouer. Prenons l'espace E des suites réelles à support fini, muni de la norme du maximum, et posons u_n(x) = n x_n. Pour chaque x fixé, u_n(x) finit par valoir 0, mais la norme de u_n vaut n. La famille n'est donc pas uniformément bornée ; il faut compléter l'espace ou démontrer la borne commune par un autre argument.

Considérons l'espace de Banach E des fonctions continues sur [0, 1], muni de la norme du maximum. Pour tout entier n au moins égal à 1, la fonctionnelle u_n évalue une fonction f au point 1/n : $u_n(f)=f(1\mathrm{/}n)u\_n(f)=f(1/n)$. La candidate limite u évalue f en 0. Pour observer aussi la convergence uniforme sur un compact, utilisons l'ensemble K des fonctions f_a(t) = at, où le paramètre a parcourt [0, 1]. Cet ensemble est compact, car la distance maximale entre f_a et f_b vaut |a − b|.

1. Pour chaque fonction continue f, les points 1/n tendent vers 0 ; ainsi f(1/n) tend vers f(0). La convergence est simple.
2. Pour toute f, la valeur absolue de u_n(f) ne dépasse pas la norme maximale de f. Chaque norme d'opérateur vaut exactement 1, comme le montre la fonction constante égale à 1.
3. La limite u est donc l'évaluation en 0, qui est linéaire et continue.
4. Sur K, l'écart vaut |a/n − 0|. Son maximum pour 0 ≤ a ≤ 1 est exactement 1/n, donc il tend vers 0 uniformément sur K.

Pour n = 4, le plus grand écart sur K vaut 1/4. La figure matérialise ce contrôle commun : toutes les valeurs au point 1/4 restent dans le segment allant de 0 à 1/4, tandis que toutes les fonctions de K valent 0 au point limite.

Dans une preuve, on commence souvent par fixer un vecteur x et par montrer que les valeurs u_n(x) convergent. Banach-Steinhaus transforme ensuite ces contrôles séparés en une borne valable pour tous les rangs. Si l'espace de départ n'est pas de Baire, cette étape doit être remplacée par une estimation directe.

Le théorème sert aussi à établir la continuité d'une limite obtenue seulement point par point. Une preuve directe de continuité peut être difficile ; l'équicontinuité de toute la suite fournit le contrôle qui passe à la limite.

Enfin, sur une famille compacte de données, la convergence devient uniforme. Si le besoin porte sur toute la boule unité, qui n'est généralement pas compacte en dimension infinie, il faut plutôt chercher une convergence en norme d'opérateur.

Convergence simple et convergence en norme d'opérateur. La première fixe x avant de faire tendre n vers l'infini. La seconde exige que l'écart maximal sur la boule unité tende vers 0. Dans l'exemple des évaluations f(1/n), la convergence est simple, mais pas en norme d'opérateur.

Continuité individuelle et équicontinuité. Savoir que chaque u_n est continue autorise un contrôle dépendant de n. L'équicontinuité impose un même contrôle pour toute la famille. Les applications x ↦ n x sur ℝ sont toutes continues, mais leurs normes n'ont aucune borne commune.

Convergence uniforme sur les compacts et convergence uniforme partout. Le théorème garantit la première. Dans un espace non compact, cela ne donne pas automatiquement un rang unique valable sur tout l'espace ni sur tout ensemble borné.

Un domaine incomplet peut faire perdre la borne uniforme. Sur les suites à support fini, u_n(x) = n x_n tend vers 0 pour chaque x, alors que la norme de u_n vaut n. Le symptôme est une amplification croissante sur des vecteurs qui changent avec n ; il faut vérifier la propriété de Baire avant d'invoquer le théorème.

Le compact ne peut pas être remplacé sans preuve par un ensemble borné. Dans l'exemple, la convergence n'est pas uniforme sur la boule unité de C([0, 1]) : pour chaque n, une fonction continue peut valoir 1 en 1/n et 0 en 0. Une convergence sur toute la boule unité demanderait une convergence en norme d'opérateur.

La convergence doit être vérifiée pour chaque vecteur. La convergence sur un sous-ensemble choisi ne suffit pas à elle seule. Si certaines valeurs u_n(x) divergent, l'application limite n'est pas définie sur tout E et la conclusion annoncée ne s'applique pas.

L'espace de Banach précise la complétude qui fournit le cadre classique du principe de la borne uniforme.

La Convergence simple détaille l'hypothèse selon laquelle chaque vecteur est fixé avant le passage à la limite.

La convergence uniforme permet de comparer la conclusion sur les compacts avec une convergence contrôlée par un rang commun.