AnalyseThéorème · Glossaire
Graphe fermé (théorème du)
Le théorème du graphe fermé est un résultat fondamental d'analyse fonctionnelle. Il affirme que si E et F sont des espaces de Banach, une application linéaire T : E -> F est continue si et seulement si son graphe {(x, T(x)) : x dans E} est un sous-ensemble fermé du produit E x F. Ce théorème est équivalent au théorème de l'application ouverte et au théorème de Banach-Steinhaus. Il permet de prouver la continuité d'opérateurs linéaires sans la calculer directement.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter la fermeture du graphe comme une stabilité des couples entrée-sortie par passage à la limite.
- Vérifier les hypothèses de linéarité, de domaine entier et de complétude.
- Appliquer le critère à l’opérateur qui multiplie une fonction continue par x sur [0,1].
- Reconnaître les échecs dus à un espace incomplet, un domaine propre ou une application non linéaire.
En clair
Imaginez une suite d’entrées qui se rapproche d’une entrée limite, tandis que les sorties correspondantes se rapprochent aussi d’une sortie. Le graphe de l’opérateur rassemble chaque entrée avec sa sortie. Dire que ce graphe est fermé signifie qu’aucun couple limite ne manque : la sortie limite est bien celle de l’entrée limite.
Pour une application linéaire entre deux espaces de Banach, cette absence de « trou » suffit à garantir la continuité. On remplace ainsi la recherche d’une majoration directe par un contrôle des suites convergentes.
Définition
Soient E et F deux espaces vectoriels normés complets, appelés espaces de Banach, et soit T une application linéaire définie sur tout E à valeurs dans F. Le graphe de T est l’ensemble des couples formés d’un vecteur et de son image : . Il est considéré dans l’espace produit E × F, muni par exemple de la norme somme.
Ce graphe est fermé lorsque toute suite de ses points qui converge dans E × F a encore sa limite dans le graphe. Autrement dit, si une suite de vecteurs xn converge vers x dans E et si la suite T(xn) converge vers un vecteur y dans F, alors y = T(x).
Le théorème du graphe fermé affirme que cette propriété équivaut à la continuité de T. Le sens « continue donc graphe fermé » découle du passage à la limite. Le sens réciproque est profond et utilise la complétude. Dans la théorie des espaces de Banach, ce résultat appartient au même ensemble de principes que le théorème de l’application ouverte et le théorème de Banach-Steinhaus, auxquels il est classiquement équivalent.
Le principe
Soient E et F des espaces de Banach et T : E → F une application linéaire définie sur tout E. Si, pour toutes suites xn de E et T(xn) de F qui convergent respectivement vers x et y, on a nécessairement y = T(x), alors T est continue. Réciproquement, toute application linéaire continue de E dans F possède un graphe fermé.
Quand l'utiliser
Le critère s’applique à une application linéaire T définie sur la totalité d’un espace de Banach E et à valeurs dans un autre espace de Banach F. Pour l’utiliser, il faut vérifier trois points : les deux espaces sont complets pour leurs normes ; le domaine de T est bien tout E ; toute convergence xn → x accompagnée d’une convergence T(xn) → y impose y = T(x).
Sans complétude, la conclusion peut échouer. Ainsi, l’espace C¹([0,1]) muni seulement de la norme uniforme n’est pas complet. L’opérateur de dérivation qui envoie f sur f′ y a un graphe fermé, mais il n’est pas continu pour cette norme. Il faut alors changer de norme, compléter le cadre ou employer la théorie des opérateurs fermés non bornés.
Un exemple, pas à pas
Considérons l’espace E = F = C([0,1]) des fonctions continues sur [0,1], muni de la norme uniforme. Pour une fonction f, l’opérateur T est défini par T(f)(x) = x f(x). Les données sont donc l’intervalle [0,1], la convergence uniforme et la multiplication par la fonction x ↦ x. Le schéma synthétise le test de fermeture effectué sur un couple limite.
1. Prenons une suite de fonctions fn qui converge uniformément vers f, et supposons que T(fn) converge uniformément vers une fonction g.
2. Pour chaque nombre x de [0,1], la convergence uniforme donne fn(x) → f(x). Par multiplication, x fn(x) → x f(x). Or la seconde convergence donne aussi x fn(x) → g(x). L’unicité de la limite impose g(x) = x f(x).
3. Ainsi g = T(f) : toute limite d’une suite de points du graphe appartient au graphe. Celui-ci est fermé, et le théorème garantit que T est continu.
4. Un contrôle direct confirme le résultat. Comme 0 ≤ x ≤ 1, on obtient . La constante 1 fournit bien une majoration de continuité.
En pratique
Pour prouver la continuité d’un opérateur linéaire, une majoration de sa norme est souvent le premier choix. Si cette estimation est difficile, on prend une suite d’entrées convergente, on suppose les images convergentes et on identifie leur limite. Lorsque cette identification est naturelle, le théorème du graphe fermé est préférable au calcul direct d’une constante.
Le même réflexe sert pour une application linéaire bijective continue : le graphe de l’application réciproque s’obtient en échangeant les deux coordonnées du graphe initial. Sa fermeture permet alors d’établir la continuité de l’inverse. Si l’un des espaces n’est pas complet ou si l’opérateur n’est pas défini partout, il faut d’abord adapter le cadre fonctionnel.
À ne pas confondre
Application fermée. Une application est dite fermée lorsqu’elle envoie tout ensemble fermé sur un ensemble fermé. Ce n’est pas la même condition qu’avoir un graphe fermé. Pour les distinguer, on examine soit l’image de chaque fermé, soit l’ensemble des couples (x, T(x)).
Théorème de l’application ouverte. Celui-ci affirme que l’image de tout ouvert par une application linéaire continue et surjective entre espaces de Banach est ouverte. Le théorème du graphe fermé teste au contraire la stabilité des couples entrée-sortie par passage à la limite. Les deux résultats sont équivalents dans le cadre des espaces de Banach, mais leurs critères d’emploi diffèrent.
Limites et pièges
Espace non complet. Un graphe fermé ne force plus la continuité. Sur C¹([0,1]) muni de la norme uniforme, les fonctions fn(x) = sin(nx)/n ont une norme au plus 1/n, tandis que leurs dérivées ont une norme égale à 1. L’opérateur de dérivation est donc non continu malgré son graphe fermé.
Domaine propre. Un opérateur linéaire fermé peut être non borné lorsqu’il n’est défini que sur une partie de l’espace de départ. Le symptôme est un domaine distinct de tout E. Il faut alors étudier un opérateur fermé non borné ou munir son domaine de la norme du graphe.
Application non linéaire. La fermeture du graphe ne suffit pas en général. La fonction réelle valant 1/x pour x ≠ 0 et 0 pour x = 0 a un graphe fermé, mais elle est discontinue en 0. Il faut employer un critère de continuité adapté aux applications non linéaires.
Test incomplet. Vérifier quelques suites particulières ne ferme pas le graphe. Il faut partir d’une suite arbitraire xn → x dont les images convergent, puis prouver que leur limite est T(x). Si les images ne convergent pas, cette suite ne contredit ni ne confirme la fermeture.
Pour aller plus loin
L’espace de Banach précise le rôle de la complétude, indispensable au passage de la fermeture du graphe à la continuité.
L’application linéaire rappelle la structure algébrique qui permet au critère de fermeture d’avoir toute sa force.
La fiche Application ouverte (théorème de l') présente un critère équivalent fondé dans l’illustration des ouverts plutôt que sur des couples limites.
Le théorème de Banach-Steinhaus prolonge ce panorama des principes de continuité propres aux espaces de Banach.
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