Application ouverte (théorème de l')

Imaginez un disque sans son bord, projeté sur une droite comme une ombre. Son image est un intervalle qui ne contient pas ses extrémités : autour de chaque point projeté, il reste donc un peu de place. Une application est dite ouverte lorsqu'elle conserve ainsi l'ouverture des ensembles.

Le théorème garantit ce comportement pour toute application linéaire continue et surjective entre espaces de Banach, même lorsque ces espaces ont une infinité de dimensions.

Soient deux espaces vectoriels normés complets, appelés espaces de Banach et notés X et Y. Une application linéaire T de X vers Y est ouverte lorsque, pour tout ensemble ouvert U de X, son image T(U) est un ouvert de Y. Le théorème de l'application ouverte affirme que cette propriété découle de trois hypothèses : T est linéaire, continue et surjective.

La continuité porte normalement sur les images réciproques d'ouverts ; elle ne suffit donc pas, à elle seule, à rendre les images ouvertes. Ici, la surjectivité et la complétude des deux espaces apportent la conclusion supplémentaire. Une formulation quantitative équivalente dit qu'il existe un nombre c strictement positif tel que l'image de toute boule ouverte de rayon r, centrée en 0 dans X, contienne la boule de rayon cr centrée en 0 dans Y.

Si T est en plus injective, elle est bijective. Son application inverse, de Y vers X, est alors linéaire et continue : une bijection linéaire continue entre espaces de Banach est donc un isomorphisme topologique.

Soient X et Y deux espaces de Banach. Si une application T de X vers Y est linéaire, continue et surjective, alors T est ouverte : pour tout ouvert U de X, l'ensemble T(U) est ouvert dans Y.

En particulier, si T est bijective, l'image réciproque par son inverse de tout ouvert U de X est T(U), qui est ouvert dans Y. L'inverse de T est donc continu.

Le domaine X et l'espace d'arrivée Y doivent être complets pour leur norme. L'application T doit être linéaire et continue, et chaque élément de Y doit avoir au moins un antécédent dans X. L'injectivité n'est pas nécessaire pour conclure que T est ouverte ; elle ne sert que pour parler d'une application inverse.

Sans surjectivité, l'inclusion de la droite réelle dans le plan envoie un intervalle ouvert sur un segment horizontal, qui n'est pas ouvert dans le plan. Il faut alors considérer l'image comme un sous-espace, ou vérifier directement l'ouverture relative, plutôt qu'appliquer le théorème.

Considérons le plan réel ℝ² et la droite réelle ℝ, munis de leurs normes usuelles. L'application T projette un point sur sa première coordonnée. L'ensemble U est le disque ouvert de centre (2, 3) et de rayon 1.

1. La projection T est linéaire et continue.
2. Elle est surjective, car tout nombre réel a est l'image du point (a, 0).
3. Si un point appartient à U, alors sa première coordonnée x vérifie |x − 2| < 1. Ainsi, T(U) est inclus dans l'intervalle ]1, 3[.
4. Réciproquement, si 1 < x < 3, le point (x, 3) appartient à U. Donc chaque x de ]1, 3[ appartient à T(U).

On obtient exactement T(U) = ]1, 3[, qui est ouvert dans ℝ. Le contrôle se refait sur les extrémités : 1 et 3 ne sont pas obtenus, car ils correspondraient au bord exclu du disque.

Pour montrer qu'une application linéaire surjective envoie les ouverts sur des ouverts, il suffit souvent de contrôler qu'elle agit entre espaces de Banach et qu'elle est continue. Une preuve directe, ouvert par ouvert, devient alors inutile.

Pour établir la continuité de l'inverse d'une application linéaire bijective, on vérifie d'abord que l'application initiale est continue et que les deux espaces sont complets. Le théorème est préférable à une estimation directe lorsque l'inverse est difficile à calculer.

Si la continuité de l'application elle-même est inconnue, le théorème du graphe fermé peut être l'outil adapté. Le critère observable est alors la fermeture du graphe, et non l'image des ouverts.

Application continue. Une application continue rend ouvertes les images réciproques des ouverts ; une application ouverte rend ouvertes leurs images directes. La fonction constante sur ℝ est continue, mais l'image de l'intervalle ]0, 1[ est un singleton, qui n'est pas ouvert dans ℝ.

Théorème du graphe fermé. Pour une application linéaire définie sur tout un espace de Banach et à valeurs dans un espace de Banach, un graphe fermé permet de conclure à la continuité. Le théorème de l'application ouverte part au contraire d'une application déjà continue et surjective pour conclure dans l’illustration des ouverts.

La surjectivité ne se devine pas. Si l'image de T est un sous-espace strict de Y, un ensemble peut être ouvert dans cette image sans être ouvert dans Y. Il faut préciser l'espace d'arrivée ou travailler avec la topologie relative.

La linéarité est essentielle. Une application continue et surjective quelconque n'est pas forcément ouverte. Sur ℝ, la fonction continue qui vaut x + 1 pour x < −1, 0 sur [−1, 1] et x − 1 pour x > 1 est surjective ; elle tend vers −∞ quand x tend vers −∞ et vers +∞ quand x tend vers +∞. Pourtant l'image de ]−1/2, 1/2[ est le singleton {0}.

La complétude ne peut pas être omise. Sans elle, une bijection linéaire continue peut avoir un inverse discontinu. Il faut alors prouver l'ouverture ou la continuité inverse par une estimation spécifique, ou compléter les espaces si l'application s'y prolonge convenablement.

espace de Banach : approfondir le rôle de la complétude dans le cadre exact du théorème.

Graphe fermé (théorème du) : relier la fermeture du graphe à la continuité d'une application linéaire.

théorème de Banach-Steinhaus : situer l'application ouverte parmi les trois résultats fondamentaux cités en analyse fonctionnelle.