Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Semi-continue supérieurement (inférieurement)
Une fonction réelle f définie sur un espace topologique est dite semi-continue supérieurement (s.c.s.) en un point x0 si, pour tout réel a strictement supérieur à f(x0), il existe un voisinage de x0 où f reste strictement inférieure à a. De manière équivalente, pour tout réel a, l'ensemble des x tels que f(x) < a est ouvert. La semi-continuité inférieure (s.c.i.) est la notion duale. Une fonction est continue si et seulement si elle est à la fois s.c.s. et s.c.i. Les fonctions s.c.s. atteignent leur maximum sur tout compact non vide.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître le sens des sauts compatible avec chaque semi-continuité.
- Appliquer les critères d'ouverture des ensembles de sous-niveau et de sur-niveau.
- Refaire un exemple qui est semi-continu supérieurement sans être continu.
- Identifier le rôle exact de la compacité dans l'existence d'un maximum.
En clair
Imaginez une courbe qui vaut 0 autour d'un point, mais 1 exactement en ce point. Cette marche vers le haut est compatible avec la semi-continuité supérieure : en s'approchant du point, les valeurs ne restent pas au-dessus de la valeur affichée avec un écart fixe. En revanche, creuser un trou vers le bas à ce même point la ferait échouer.
La semi-continuité inférieure renverse le regard : elle autorise le trou vers le bas, mais pas le pic isolé vers le haut.
Définition
Soit X un espace topologique, f une fonction réelle définie sur X et x0 un point de X. La fonction f est semi-continue supérieurement en x0 lorsque, pour tout réel a strictement supérieur à f(x0), il existe un voisinage de x0 où toutes les valeurs de f restent strictement inférieures à a. Sur tout X, cela revient à demander que l'ensemble soit ouvert pour chaque réel a.
Dans un espace métrique, la même condition s'écrit . La semi-continuité inférieure est duale : pour chaque réel a, l'ensemble doit être ouvert. Elle équivaut à la semi-continuité supérieure de −f. Une fonction est continue exactement lorsqu'elle possède les deux propriétés en chaque point.
La différence porte donc sur le sens des sauts autorisés, non sur l'existence de sauts. Sur un compact non vide, toute fonction réelle semi-continue supérieurement atteint un maximum. Par dualité, une fonction réelle semi-continue inférieurement y atteint un minimum.
Un exemple, pas à pas
Sur la droite réelle, considérons la fonction f qui vaut 1 au point 0 et 0 partout ailleurs. Les données sont le domaine ℝ, le point particulier 0 et les deux valeurs 0 et 1. La fonction s'écrit :
1. Si le seuil réel a est inférieur ou égal à 0, l'ensemble des points où f(x) < a est vide. Il est donc ouvert.
2. Si a est strictement positif et inférieur ou égal à 1, cet ensemble est ℝ privé de {0}. Il est encore ouvert. Si a est strictement supérieur à 1, l'ensemble est ℝ, donc ouvert. Le critère est satisfait pour tous les seuils : f est semi-continue supérieurement.
3. Pour tester la semi-continuité inférieure, choisissons a = 1/2. L'ensemble des points où f(x) > 1/2 est {0}, qui n'est pas ouvert dans ℝ. La fonction n'est donc pas semi-continue inférieurement en 0.
4. Sur le compact [−1, 1], le maximum vaut exactement 1 et il est atteint en 0. Ce résultat contrôle à la fois le calcul et la propriété d'extrémum.
Le graphe associé montre une valeur pleine à la hauteur 1 en x = 0 et une valeur exclue à la hauteur 0 au même point.
En pratique
Pour chercher un maximum sur un domaine compact, la semi-continuité supérieure suffit là où la continuité serait une hypothèse plus forte. Pour un minimum, le bon critère est la semi-continuité inférieure.
Pour vérifier une fonction définie par morceaux, on peut faire varier un seuil a et regarder les ensembles où f(x) < a. S'ils sont tous ouverts, la fonction est semi-continue supérieurement ; ce test évite parfois un calcul de limite supérieure.
Face à un saut, le geste décisif consiste à comparer la valeur au point avec les valeurs qui s'en approchent. Un pic vers le haut oriente vers la semi-continuité supérieure ; un creux vers le bas, vers la semi-continuité inférieure. Le critère par ouverts confirme ensuite ce premier diagnostic.
À ne pas confondre
Semi-continuité et continuité. Une seule semi-continuité autorise certains sauts. La continuité exige simultanément les formes supérieure et inférieure. La fonction qui vaut 1 en 0 et 0 ailleurs tranche : elle est semi-continue supérieurement, mais elle n'est pas continue.
Forme supérieure et forme inférieure. La première contrôle les dépassements venus du voisinage ; la seconde contrôle les valeurs trop basses. Pour l'exemple conducteur, f possède la forme supérieure, tandis que −f possède la forme inférieure.
Semi-continuité supérieure et maximum local. Être semi-continue supérieurement en x0 ne fait pas nécessairement de x0 un maximum local. La fonction continue f(x) = x est semi-continue supérieurement en 0, mais prend des valeurs plus grandes juste à droite.
Limites et pièges
Suites dans une topologie générale. Dans un espace métrique, tester toutes les suites qui convergent vers x0 suffit. Dans un espace topologique arbitraire, ce test peut manquer des comportements : le critère par ouverts, ou la formulation par voisinages, reste le réflexe sûr.
Domaine non compact. La semi-continuité supérieure ne garantit plus que le maximum soit atteint. Sur l'intervalle ouvert (0, 1), la fonction f(x) = x est continue, donc semi-continue supérieurement, mais aucune valeur ne vaut 1.
Point isolé. Si {x0} est ouvert, toute fonction réelle est à la fois semi-continue supérieurement et inférieurement en x0. Le verdict est alors automatique et ne renseigne pas sur le comportement aux autres points.
Valeurs infinies. La définition source concerne une fonction réelle. Pour une fonction à valeurs dans ℝ complété, les mêmes idées demandent des conventions explicites autour de +∞ et −∞ ; il ne faut pas les importer silencieusement.
Pour aller plus loin
La fiche fonction continue précise la propriété obtenue lorsque les contrôles supérieur et inférieur sont réunis en chaque point.
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