AnalyseNotion · Glossaire
Maximum global
Le maximum global (ou absolu) d'une fonction f sur un ensemble D est la plus grande valeur prise par f sur D, s'il existe. Cette valeur est f(c), où c est un point de D tel que f(c) est supérieur ou égal à f(x) pour tout x dans D. Le théorème des valeurs extrêmes (Weierstrass) garantit l'existence du maximum global pour une fonction continue sur un compact. Le maximum global diffère du maximum local : il est le plus grand de tous les maxima locaux.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer la valeur maximale du point où elle est atteinte.
- Refaire la recherche d'un maximum sur un intervalle fermé.
- Relier continuité, compacité et existence d'un maximum global.
- Séparer maximum global, maximum local et borne supérieure.
En clair
Imaginez une courbe tracée seulement entre deux bornes. Son maximum global est sa hauteur la plus élevée sur tout ce parcours, pas seulement le sommet d'une petite bosse.
Pour la courbe de f(x)=−(x−2)2+5 entre −1 et 4, le point le plus haut est obtenu pour x=2. La fonction y vaut alors 5 : x=2 est un endroit où le maximum est atteint, tandis que 5 est la valeur maximale.
Définition
Soit une fonction f définie sur un ensemble D. Un élément c de D est un point de maximum global lorsque la condition suivante vaut pour tout élément x de D : . La valeur f(c) est alors le maximum global, aussi appelé maximum absolu, de f sur D. Il faut donc distinguer le point c, où le maximum est atteint, de la valeur f(c). Plusieurs points peuvent atteindre la même valeur maximale.
Un maximum global n'existe pas nécessairement. Le théorème des valeurs extrêmes garantit toutefois son existence lorsque D est un compact non vide et que f est une fonction réelle continue sur D. Dans un intervalle fermé et borné de nombres réels, cette garantie conduit à examiner les points critiques intérieurs, les points où la dérivée n'existe pas et les extrémités.
Un maximum local domine seulement les valeurs assez proches de son point. Un maximum global domine toutes les valeurs prises sur D ; il est donc aussi local, avec la topologie relative à D. Parmi les valeurs des maxima locaux, la valeur globale est la plus grande lorsqu'elle existe.
Un exemple, pas à pas
On cherche le maximum global de la fonction f sur l'intervalle D=[−1 ; 4]. Données :
f(x)=−(x−2)2+5 ;
D=[−1 ; 4] ;
la fonction est continue et dérivable sur cet intervalle.
f(x)=−(x−2)2+5 ;
D=[−1 ; 4] ;
la fonction est continue et dérivable sur cet intervalle.
1. La dérivée vaut f′(x)=−2(x−2). Elle s'annule au point intérieur x=2.
2. On évalue la fonction au point critique et aux deux extrémités : f(2)=5, f(−1)=−4 et f(4)=1.
3. La plus grande des trois valeurs est 5. Le maximum global de f sur [−1 ; 4] vaut donc 5 et il est atteint en x=2.
Le contrôle peut être refait sans dérivée : comme (x−2)2 est toujours positif ou nul, −(x−2)2+5 est toujours inférieur ou égal à 5. L'égalité se produit exactement pour x=2.
En pratique
Pour optimiser une quantité sur un intervalle fermé, on compare les valeurs aux points critiques et aux extrémités. Si la fonction n'est pas dérivable partout, les points de non-dérivabilité doivent aussi être testés au lieu d'appliquer seulement l'équation f′(x)=0.
Sur un ensemble fini de valeurs calculées ou mesurées, on peut simplement les comparer. Une méthode par dérivation devient utile lorsque la fonction décrit une infinité de valeurs sur un intervalle.
Avant d'annoncer un maximum, on vérifie que la valeur est réellement atteinte dans le domaine. Si des valeurs s'en approchent sans jamais l'atteindre, on cherche plutôt une borne supérieure.
À ne pas confondre
Maximum local. Il suffit qu'une valeur domine celles d'un voisinage. Pour trancher, on compare avec tout le domaine : une petite bosse dépassée ailleurs est un maximum local, mais pas global.
Borne supérieure. Elle peut ne jamais être prise par la fonction, alors qu'un maximum doit être atteint. Sur l'intervalle ouvert ]0 ; 1[, la fonction f(x)=x a 1 pour borne supérieure, mais aucun maximum global.
Limites et pièges
Domaine non compact. La continuité seule ne garantit rien. Sur ℝ, la fonction f(x)=x n'a pas de maximum : pour toute valeur obtenue, une valeur plus grande existe. Il faut étudier les bornes ou restreindre le domaine.
Domaine ouvert. Sur ]0 ; 1[, f(x)=x s'approche de 1 sans l'atteindre. Le symptôme est l'absence de point c donnant la valeur limite ; il faut parler de borne supérieure, pas de maximum.
Recherche limitée aux points où f′ s'annule. Cette procédure oublie les extrémités et les points non dérivables. Sur un intervalle fermé, il faut comparer toutes ces candidatures.
Maximum non unique. Une fonction constante sur [−1 ; 4] atteint sa valeur maximale en chaque point. La valeur globale est unique, mais le point qui la réalise ne l'est pas nécessairement.
Pour aller plus loin
Le Maximum local précise le critère de voisinage qui distingue une bosse locale du plus haut niveau sur tout le domaine.
La fonction continue permet d'approfondir l'hypothèse centrale du théorème des valeurs extrêmes.
Le point critique éclaire l'une des candidatures à examiner lors d'une recherche de maximum sur un intervalle.
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