méthode de Laplace

Imaginez une courbe qui possède un sommet net. Lorsque cette courbe intervient dans une exponentielle élevée par un grand paramètre, les valeurs prises près du sommet l'emportent très vite sur toutes les autres. La méthode de Laplace concentre donc le calcul dans cette petite zone utile.

Près du sommet, la courbe ressemble à une parabole. Remplacer localement la fonction par cette parabole transforme alors l'intégrale difficile en une intégrale gaussienne connue. Plus le paramètre grandit, plus cette approximation locale devient pertinente.

La méthode de Laplace étudie une famille d'intégrales dépendant d'un paramètre réel positif M qui tend vers l'infini. Pour une fonction réelle f définie sur l'intervalle [a, b], cette famille s'écrit :

Dans le cas standard, f est continue sur [a, b] et possède un unique maximum global en un point x₀ situé à l'intérieur de l'intervalle. La fonction est deux fois dérivable au voisinage de x₀, sa dérivée première y est nulle et sa dérivée seconde y est strictement négative. Le développement au second ordre remplace alors f près de x₀ par une parabole tournée vers le bas, tandis que la continuité sur l'intervalle compact garantit un écart uniforme au maximum hors de ce voisinage.

La contribution principale est gaussienne et fournit l'équivalent : Le symbole ∼ signifie que le quotient de l'intégrale par l'expression de droite tend vers 1. Si le maximum est au bord, s'il n'est pas isolé ou si la dérivée seconde s'annule, cette formule standard doit être adaptée.

Si f est continue sur l'intervalle compact [a, b], admet un unique maximum global intérieur x₀, est deux fois dérivable au voisinage de ce point et vérifie f″(x₀) < 0, alors la méthode suit quatre opérations.

1. Repérer x₀ et calculer f(x₀) puis f″(x₀).
2. Remplacer localement f par son développement quadratique au point x₀.
3. Intégrer l'exponentielle quadratique ainsi obtenue.
4. Conserver le terme dominant lorsque M tend vers l'infini.

Le point d'arrêt est l'obtention d'un équivalent dont le quotient avec l'intégrale initiale tend vers 1.

La formule gaussienne standard s'applique à une intégrale sur un intervalle réel compact [a, b] lorsque f y est continue et que son maximum global est atteint en un seul point intérieur x₀. Il faut pouvoir contrôler f autour de ce point par un développement au second ordre, avec f′(x₀) = 0 et f″(x₀) < 0. Pour tout petit voisinage fixé du maximum, la continuité et l'unicité garantissent hors de ce voisinage un écart uniforme : il existe δ > 0 tel que f(x) ≤ f(x₀) − δ, ce qui rend le reste négligeable.

Le contre-cas f(x) = x sur [0, 1] atteint son maximum au bord x = 1 : la dérivée n'y est pas nulle et la parabole gaussienne intérieure ne convient pas. Il faut employer une version de la méthode adaptée à une extrémité, fondée sur le premier terme non nul du développement local.

On veut approcher l'intégrale de e^−10x² entre −1 et 1. Les données sont l'intervalle [−1, 1], le paramètre M = 10 et la fonction f(x) = −x². La courbe de l'intégrande rend visible la concentration autour du maximum.

1. Le maximum unique est atteint en x₀ = 0.
2. On obtient f(0) = 0 et f″(0) = −2.
3. La fonction étant déjà quadratique, le modèle local est exactement e^−10x².
4. La formule de Laplace donne :

Un calcul numérique direct donne environ 0,560495. L'écart est inférieur à 0,00000454 : les deux queues omises au-delà de −1 et 1 sont majorées ensemble par e⁻¹⁰/10. Les deux valeurs ont ainsi leurs cinq premières décimales écrites en commun ; la sixième diffère.

Pour estimer une intégrale dont l'exponentielle devient très concentrée, on repère d'abord le maximum de l'exposant. La méthode de Laplace est préférable à un quadrillage uniforme lorsque l'essentiel de l'aire se trouve dans une zone très étroite.

Pour obtenir une valeur numérique à paramètre seulement modéré, on compare l'équivalent à une quadrature directe. Si les deux valeurs ne sont pas assez proches pour la précision voulue, la quadrature ou des termes asymptotiques supplémentaires sont préférables.

Pour choisir entre plusieurs zones candidates, on compare les valeurs de f à leurs maxima. Des maxima de même hauteur exigent d'additionner leurs contributions locales ; un maximum strictement plus bas devient exponentiellement négligeable.

La méthode de Laplace ne doit pas être confondue avec la transformation de Laplace. La première approxime une intégrale lorsque le paramètre de l'exponentielle devient grand ; la seconde transforme une fonction en une nouvelle fonction d'une variable complexe ou réelle. L'intégrale de e^−10x² sur [−1, 1] relève ici de la méthode asymptotique, pas d'un changement de représentation.

Elle se distingue aussi de la méthode de la phase stationnaire. Laplace traite une exponentielle réelle dominée par ses maxima, tandis que la phase stationnaire traite surtout des intégrales oscillantes dominées par les points où la phase varie peu. Le caractère décroissant ou oscillant de l'intégrande tranche entre les deux cadres.

Paramètre insuffisamment grand. Aucun seuil universel ne garantit la précision. Pour M = 10 dans l'exemple, l'écart est d'environ 0,00000434 ; pour une autre fonction, il peut être bien plus grand. Il faut comparer à un calcul numérique ou estimer le reste.

Maximum aplati. Si f″(x₀) = 0, le dénominateur de la formule standard s'annule : le symptôme signale que le terme quadratique ne décrit plus le sommet. S'il existe dans le développement local un premier terme non nul, il est d'ordre pair et de coefficient négatif ; c'est lui qui détermine la nouvelle échelle en M. Un maximum peut toutefois être plat à tout ordre : aucun tel terme n'existe alors et une analyse spécifique est nécessaire.

Plusieurs maxima globaux. Si plusieurs points isolés atteignent exactement la même hauteur, n'en garder qu'un sous-estime l'intégrale. Il faut calculer puis additionner toutes leurs contributions dominantes. Si les maxima forment tout un intervalle, une analyse spécifique remplace la somme de contributions isolées.

Maximum au bord. À une extrémité, f′ ne s'annule pas nécessairement et la moitié gaussienne n'est pas une règle générale. Le premier terme local non nul, le sens de l'intervalle et la régularité au bord déterminent la bonne approximation.

Le développement en série de Taylor précise pourquoi une fonction régulière ressemble localement à une parabole près d'un maximum non dégénéré.

Le développement asymptotique situe l'équivalent de Laplace dans une suite de termes offrant, sous des hypothèses supplémentaires, des corrections plus fines.

La fiche sur le maximum local aide à distinguer un sommet voisin de chaque point du maximum global qui gouverne l'intégrale entière.