Phase stationnaire (méthode de)

Imaginez une foule de petites flèches qui tournent de plus en plus vite. Presque partout, des flèches voisines pointent dans des directions opposées et leurs effets se compensent. Là où la rotation ralentit un instant, elles restent davantage alignées : cette petite zone pèse alors beaucoup plus dans le résultat total.

Dans son cas standard, la méthode de la phase stationnaire repère ces zones autour des points où la pente de la phase s'annule. Pour un grand paramètre d'oscillation, on remplace ainsi un calcul global difficile par des contributions locales calculables. Les bords, les points dégénérés ou les endroits où l'amplitude s'annule demandent cependant une analyse adaptée et peuvent modifier la contribution dominante.

Soit une intégrale oscillante sur l'intervalle [a, b], dont a et b sont les bornes, et dépendant d'un paramètre réel positif λ. La fonction f, appelée amplitude, règle le poids local ; la fonction réelle φ, appelée phase, règle l'oscillation ; i est l'unité imaginaire : La méthode de la phase stationnaire décrit I(λ) lorsque λ tend vers l'infini.

Un point intérieur x₀ est stationnaire lorsque φ′(x₀) = 0. S'il est non dégénéré, donc si φ″(x₀) ≠ 0, la phase est localement quadratique. Une zone de largeur comparable à λ^−1/2 autour de x₀ fournit alors une contribution d'ordre λ^−1/2 lorsque f(x₀) ≠ 0 ; si l'amplitude s'y annule, cet ordre peut être inférieur. Sur les régions où φ′ ne s'annule pas, les oscillations se compensent et des intégrations par parties donnent des contributions plus petites sous des hypothèses de régularité et de bord adaptées.

Avec plusieurs points stationnaires isolés et non dégénérés, on additionne leurs contributions, qui peuvent encore interférer entre elles. Les points stationnaires dégénérés, les points situés au bord et les points qui fusionnent exigent d'autres développements : la formule quadratique standard ne leur est pas directement applicable.

Supposons que l'amplitude f soit de classe C², que la phase réelle φ soit de classe C⁴ et que x₀ soit l'unique point stationnaire dans l'intérieur de l'intervalle. Si f(x₀) et φ″(x₀) sont non nuls et si f s'annule près des bords, la contribution principale est :

On repère donc x₀, on évalue f, φ et φ″ en ce point, puis on insère ces valeurs dans la formule. Le signe de φ″ fixe le déphasage de plus ou moins π/4. Le symbole ∼ signifie que le quotient des deux membres tend vers 1 ; il ne signifie pas qu'ils sont égaux pour une valeur finie de λ.

La formule affichée demande une phase réelle de classe C⁴, une amplitude de classe C² et un grand paramètre λ positif. Il faut vérifier que le point x₀ est intérieur et isolé, que φ′(x₀) = 0, que φ″(x₀) ≠ 0 et que f(x₀) ≠ 0 pour employer le symbole ∼ avec ce terme. Les bords doivent être négligeables ou traités séparément.

Si φ′ ne s'annule nulle part et reste éloignée de zéro, il n'existe aucune contribution stationnaire : l'intégration par parties est l'outil naturel. Si φ″ s'annule aussi au point critique, l'approximation quadratique échoue ; il faut conserver le premier terme non nul d'ordre supérieur. Enfin, un point stationnaire qui atteint une extrémité nécessite une approximation uniforme ou une analyse de bord.

Étudions l'intégrale sur l'intervalle [−1, 1] avec une amplitude constante égale à 1, une phase φ(x) = x²/2 et le paramètre λ = 100 ; i désigne l'unité imaginaire : $I(100)={\int }_{-1}^1{e}^{i100x^2\mathrm{/}2}dxI(100)=\backslash int\_\{-1\}^\{1\}e^\{i100x^2/2\}\backslash ,dx$.

1. Dérivons la phase. Comme φ′(x) = x, l'unique point stationnaire est x₀ = 0. De plus, φ″(0) = 1 : ce point est non dégénéré et son déphasage vaut +π/4.

2. Évaluons les données locales. L'amplitude vaut f(0) = 1 et la phase vaut φ(0) = 0. La courbe de φ montre la tangente horizontale en 0 et la zone |x| ≤ 0,1, où 100φ(x) ≤ 0,5.

3. Appliquons le terme principal : $I(100)\sim e^{i\pi \mathrm{/}4}\sqrt{\frac{2\pi }{100}}I(100)\backslash sim\; e^\{i\backslash pi/4\}\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\backslash pi\}\{100\}\}$, soit environ 0,177245 + 0,177245 i.

4. Une intégration numérique de l'intégrale tronquée donne environ 0,171807 + 0,158004 i, soit un écart de module voisin de 0,020 avec le terme principal. Ce contrôle rappelle que les extrémités ±1 contribuent ici à l'ordre 1/λ. Si λ passe de 100 à 400, le terme stationnaire principal est divisé par 2, conformément à sa décroissance en λ^−1/2.

En optique ondulatoire, on additionne des contributions portant des phases différentes. Quand la fréquence est élevée, on cherche les trajets où la phase varie le moins ; lorsque les points stationnaires intérieurs pertinents sont isolés, non dégénérés, que l'amplitude n'y est pas nulle et que leurs contributions dominent celles des bords, la phase stationnaire fournit l'amplitude dominante. Près d'une caustique, on préfère une approximation uniforme, car plusieurs points stationnaires peuvent fusionner.

En mécanique quantique semi-classique, des intégrales de propagation deviennent fortement oscillantes lorsque l'échelle d'action est grande devant la constante quantique. Le calcul local autour des trajectoires stationnaires remplace une intégration directe coûteuse, tant que ces points restent isolés et non dégénérés.

En calcul numérique, la méthode sert aussi de diagnostic. Si l'on repère des points stationnaires, un quadrateur uniforme risque de gaspiller des évaluations sur des oscillations qui se compensent. On découpe alors le domaine autour de ces points ; sans point stationnaire, des méthodes d'intégration oscillante ou des intégrations par parties sont mieux adaptées.

Avec la méthode de Laplace. La phase stationnaire traite une exponentielle complexe oscillante et sélectionne les zéros de φ′. La méthode de Laplace traite typiquement une exponentielle réelle et sélectionne les maxima de son exposant. Pour e^−λx², on étudie une concentration décroissante ; pour e^iλx², on étudie des compensations de phase.

Avec la méthode du col. La méthode du col déforme un contour dans le plan complexe vers des points critiques. La phase stationnaire travaille ici sur un domaine réel et exploite une phase réelle. Une intégrale sur un contour complexe, ou une déformation nécessaire pour obtenir la décroissance, relève du cadre du col plutôt que de la seule formule réelle.

Point dégénéré. Si φ′(x₀) = φ″(x₀) = 0, la largeur caractéristique n'est plus nécessairement λ^−1/2. Le symptôme est un dénominateur nul dans la formule standard. Si la phase est assez régulière et possède un premier terme non nul d'ordre identifiable, on la développe jusqu'à ce terme et on emploie l'échelle correspondante ; une phase plate demande une autre analyse.

Amplitude nulle au point critique. Si f(x₀) = 0, le terme principal affiché s'annule sans que toute la contribution locale disparaisse forcément. Dans la limite de la régularité disponible, on poursuit le développement de f et de φ pour chercher un premier coefficient non nul ; si l'amplitude est plate en x₀, un tel coefficient peut ne pas exister.

Bords non négligeables. Dans l'exemple à λ = 100, l'amplitude vaut encore 1 en −1 et en 1. Les contributions de bord sont d'ordre 1/λ et expliquent une partie de l'écart avec le seul terme stationnaire. On les calcule séparément au lieu de les incorporer de force dans la formule intérieure.

Points proches ou fusionnants. Lorsque la distance entre deux points stationnaires devient comparable à leur largeur asymptotique, la somme de deux approximations locales indépendantes perd sa précision. Une approximation uniforme, construite pour la transition, doit alors remplacer les deux formules séparées.

Le développement peut être prolongé au-delà du terme principal. Les dérivées successives de l'amplitude f et de la phase φ produisent alors une série asymptotique en puissances décroissantes de λ, dont la précision dépend de la régularité et du traitement des bords.

Lorsque le domaine possède plusieurs dimensions, les points stationnaires sont repérés par l'annulation du gradient de la phase. Si la matrice hessienne y est inversible, son déterminant règle la taille de la contribution et sa signature généralise le déphasage de ±π/4.